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一类球的投影问题的解决 江苏省盐城市盐阜中学（224000） 董成勇 投影是新课程中新增加的知识，主要有中心投影和平行投影两种，其中平行投影根据投影方向与投影面的位置关系又分为斜投影和正投影两种[1]。本为主要介绍在斜投影与中心投影的情况下，球的影子—椭圆的离心率的求解。 斜投影 斜投影是指投影方向与投影面不垂直的一种投影，圆在正投影下的视图仍然是圆，而 在斜投影下的视图却是一个椭圆。 【性质1】已知桌面上有一个球，半径为R，一束平行光线与桌面成（）角，则球在桌面上的投影—椭圆的离心率。 图1如图1，和是两条与球相切的光线，分别切于点A和点C，分别与桌面交于点B和点D，则AC就是球的直径，BD的长就是椭圆的长轴长。过点A作AE//BD，交于点E，则BD=AE。在Rt△AEC中，因为 图1 ∠AEC=,所以AE=，即，又因为，所以，所以 【例题1】一个广告气球某一时刻被一束平行光线投射到水平地面上的影子是一个椭圆，椭圆的离心率为，则该时刻这平行光线对于水平平面的入射角为________。 利用上面的定理可以很容易的得到光线与水平地面所成的角是，所以入射角是 中心投影 中心投影是指投射线交于一点的投影，它和平行投影的最大区别投射线是否交于一点。 下面我们也通过例题来研究在中心投影下球在平面上的投影—椭圆的离心率。 【性质2】[2]若一个点光源发出的光线照射桌面上的一个球上，则其投影是一个椭圆，且球与桌面的切点就是椭圆的焦点。 【例题2】一只半径为R的球放在桌面上，桌面上一点A的正上方相距（＋1）R处有一点光源O，OA与球相切，求球在桌面上的投影――椭圆的离心率。 图2 如图2，易知AB就是椭圆的长轴，由于，易得， 即AB＝（＋３）R，根据定理2知道点Ｆ就是椭圆的焦点，所以，即，所以 【例题3】一只半径为1m的球放在桌面上，切点为Ｏ，桌面上一点A的正上方相距 6m处有一点光源Ｓ，Ｏ与Ａ相距，求球在桌面上的投影――椭圆的离心率. 图3这个题目是上一题的一般化，缺少了ＳA与球相切这个条件使得直接用平面几何性质求解的难度加大，为此我们考虑建立平面直角坐标系。 图3 以点Ｓ、O和C（球心）所确定的平面建立如图3所示的直角坐标系，则C（0，1）， S（），过S作圆C的两条切线SD与SB，交轴于D、B两点，则BD的长度就是椭圆的长轴长。 设切线的斜率为，则切线的方程是，即 所以，得，即 ，所以 所以，即椭圆的离心率是 参考文献 [1] 单墫等2006. 普通高中课程标准实验教科书（苏教版·数学必修2）[M].南京: 江苏教育出版社 [2] 单墫等2006. 普通高中课程标准实验教科书（苏教版·数学选修2-1）[M].南京: 江苏教育出版社 通讯地址：江苏省盐城市旭日路4号（224000） 电子邮箱：hxz0120@163.com