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下学期期末考试高等代数试卷
下学期期末考试《高等代数》试卷(6)
一、填空题 (每题的答案写在题中的横线上.每题2分,共20分)
1、设则 时,使为对角形矩阵.
2、实二次型 的规范形为 .
3、设,则是的 维子空间,的一个基为 .
4、设,且秩,为齐次线性方程式组的解空间,则不是零子空间的充要条件为 .
5、数域上每一个维线性空间都与 同构.
6、中,,则线性变换关于基,,,的矩阵为 .
7、设三阶方阵的特征根是3和(二重)则的全部特征根为 .
8、对内积 做成欧氏空间,其哥西一施瓦兹不等式为 .
9、维欧氏空间的变换既是对称变换又是反对称变换,则是 变换.
10、若是一个正交矩阵,则方程组:
的解为 .
二、选择题
11、设则( )
(A)2; (B)3; (C)4; (D)5
12、数域上维空间有( )个基:
(A)1; (B); (C); (D)无穷多
13、设是矩阵的特征根,并且有,则是( )的一个特征根.
(A); (B); (C); (D)
14、下列矩阵,可逆的矩阵是( )
(A) ; (B) ;
(C) ; (D)
15、矩阵数字的初等因子可能为( )
(A); (B) ;
(C) ; (D)
16、,如下定义的实数( )可做成 的内积.
(A); (B);
(C); (D)
17、设是欧氏空间的对称变换的特征根,是的属于的特征向量,是的属于的特征向量,则( )成立.
(A)两两正交;
(B)线性无关且线性无关,则两两正交;
(C)一定有;
(D)若正交且正交,则是正交组.
18、是维欧氏空间的正交变换,( )是正确的.
(A)把的标准正交基变为标准正交基;
(B)关于任意基的矩阵是正交矩阵;
(C)若不是的标准正交基,则也不是的标准正交基;
(D)关于基的矩阵不是正交矩阵,则不是的标准正交基.
19、对于阶实对称矩阵,下列结论正确的是( )
(A)有个不同的特征根;
(B)存在正交矩阵,使得:为对角形矩阵;
(C)的特征根一定是整数;
(D)的属于不同特征根的特征向量必定线性无关,但不一定正交.
20、设是矩阵的特征根,并且有,则是( )的一个特征根.
(A); (B); (C); (D)
三、判断题
21、如果实二次型的惯性指标与其秩相等,则此二次型为正定二次型. ( )
22、设是齐次线性方程组的一个基础解系,则也是一个基础解系. ( )
23、若是维欧氏空间的可逆对称变换,则也是对称变换. ( )
24、是欧氏空间的线性变换,中向量的夹角为,而的夹角为,则不是的正交变换. ( )
25、有限维向量空间的线性变换对于的任意两个基的矩阵都相等. ( )
四、计算题
26、求齐次线性方程组的解空间的余子空间.
27、求矩阵的不变因子和标准形.
28、求齐次线性方程组的解空间的标准正交基.
29、中线性变换,求在基下的矩阵.
五、证明题( 第30小题8分,第31小题8分,共16分)
30、设为实对称矩阵,证明:当实数充分大后,是正定矩阵.
31、设是阶矩阵的特征根,则,且也是的特征根.
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