数值分析方法第三章.ppt

x1=fzero(humps,-0.5) x1 = -0.1316 x2=fzero(humps,1.5) x2 = 1.2995 plot([x1 x2],[0 0],o);hold off roots(p) 多项式p的所有复根。例 x3+2x2-5的根 roots([1 2 0 -5]) ans = -1.6209 + 1.1826i -1.6209 - 1.1826i 1.2419 求解的方法很多， 现成的软件更多， 而且会越来越多。 为什么还要学习求解的方法？ “软件”不能解决所有实际问题， 常常需要“自力更生”。 关于方程求根问题的小结 二分法：f(x)连续、 f(a) f(b) 0 、一个实根 简单，速度慢 迭代法：|g′(x)| 1、g(x) ? ( a, b )  原理简单、编程容易，但 g(x) 选择困难 牛顿法：条件苛刻、要计算导数，但收敛速度快 变形1 —— 下山法 (有时可防止发散) 变形2 —— 弦割法 (可以不求导) 有没有“百发百中”的方法 ？ 慢一点不要紧，计算机越来越快。 复杂函数的求根问题 其中 求：在 x -2区间内的实根。 困难 牛顿法：导数难以计算； 迭代法：难以表达为x = g(x)。 最关键的是函数性质不清楚， 函数连续性？ 有多少个根？ 所以连二分法都难以应用。 n1 n2 n3 x＝0 x＝－2a ? ?1 衬底 包层 上界面 下界面 波导层 波导与衬底的交界面---下界面，临界角 波导与包层的交界面---上界面，临界角 假设： 当平面波的入射角?1变化时，可产生不同的波型：导模和辐射模 导模 n1 n2 n3 x＝0 x＝－2a ? ?1 衬底 包层 当 时，即 导模：平面波在上下界面都产生全反射 上界面 下界面 波导层 TE模本征方程（Eigenvalue equation） TM模本征方程（Eigenvalue equation） 金属波导 本征方程 其中 对称模式（SM） 反对称模式（AM） 对称金属波导 厚金属膜：SPP分别在上下表面传播 薄金属膜：上下表面SPP发生耦合 对称模:长程表面等离子体波 对称金属波导 对称金属波导 作业 f(x)=x3+x2?1，取?=10-3，用二分法求f(x)在[0,1]上的根 f(x)=x3?3x?2，取?=10-3，x0=1.5，用Newton迭代法求f(x)的根 f(x)=x3?3x?2，取?=10-3，x0=1，x1=3，用弦截法求f(x)的根 若锗中杂质电离能△ED＝0.01eV，施主杂质浓度分别为ND＝1014cm-3，计算99%电离时温度各为多少？ k0=1.380×10-23J/K，h=6.625×10-34J·s 对称金属波导传播常数的实部随厚度的变化关系 对称金属波导传播常数的虚部随厚度的变化关系 牛顿法 取 在 x0 做一阶Taylor展开 将 看成高阶小量，则有： 每一步迭代都有 ，而 且 ，则 的根。 （牛顿公式） ，? 在 x0 和 x 之间 * * 线性 /* linear */ * * 牛顿法几何表示 x* x0 x1 x2 x y f(x) 切线 /* tangent line */ * 牛顿公式实际上就是用曲线 　　 在　　　　　　 点处的切线与 轴的交点作为曲线 　 与 轴交点的近似 * * 牛顿法例题 例 用牛顿法求解方程 在 附近的根 解：将方程 转化为等价方程 令 ，则牛顿迭代公式为 * * ，迭代结果如下表 取初值 0 1 2 3 4 0.5 0.5710204 0.5671555 0.5671433 0.5671432 　 可见，牛顿公式的收敛速度是相当快的。 * * * 牛顿法的收敛性 对方程f (x)=0，若存在区间[a, b]，使 f ? (x)在[a, b]上连续； (2) f (a) f (b) 0； 在整个[a, b]上， f ?(x) ? 0； 在整个[a, b]上 f ? 不变号 选取 x0 ? [a, b] 使得 f (x0 ) f ? (x0) 0；则Newton’s Method产生的序列{ xk } 收敛到f (x)=0 在[a, b]上的唯一实根。 * * 牛顿法收敛性示意图