角平分线(12).ppt

1.4角平分线 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 角平分线的性质定理: O C B 1 A 2 P D E PD⊥OA，PE⊥OB ∵ OC是∠AOB的平分线 ∴ PD＝PE 用数学语言表述： 角平分线的作法 角平分线性质定理的逆命题为： 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上. ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上． 用数学语言表示为： 角平分线上的点到角两边的距离相等 角平分线的性质定理 角平分线的判定定理 到角两边的距离相等的点在角平分线上。 作用：证明线段相等 作用：证明角平分线 O C B 1 A 2 P D E 证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足 ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上 ∴PD=PE 同理：PE=PF．∴PD=PF． ∴点P在∠BAC的平分线上 ∴△ABC的三条角平分线相交于点P． D E F M N C B A P 例1.证明：三角形三条角平分线相交于一点． 已知：如图，设△ABC的角平分线．BM、CN相交于点P， 求证：P点在∠BAC的角平分线上． 例2.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。求证：AD是△ABC的角平分线。 A B C E F D 例3、如图所示，AB∥CD，∠B=90o，E是BC的中点，DE平分∠ADC， 求证：AE平分∠DAB。 F 试一试： 1 1.已知:如图,∠C=900, ∠B=300,AD是Rt△ABC的角平分线. 求证:BD=2CD. A B C D 2.已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别C,D.求证: (1)OC=OD; (2)OP是CD的垂直平分线. B A P D C O 试一试： 2 2.已知:如图,△ABC的外角∠CBDT和∠BCE的角平分线相交于点F. 求证:点F在∠DAE的平分线上. A B C F D E 试一试： 3 例5. 某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站，张、李两村座落在两相交公路内(如图所示)．医疗站必须满足下列条件： ①使其到两公路距离相等， ②到张、李两村的距离也相等，请你通过作图确定点的位置 3.如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论． 4、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上. 在∠AOB的两边OA、OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C。 求证：点C在∠AOB的平分线上。 过关测试 一、填空题 1.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF. 2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP__________∠CAP. 3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD= ，则PE =__________. 8、如图(2)，点P是∠AOB的角平分线上一点，过P作PC∥OA交OB于点C．若∠AOB＝600，OC＝4，则点P到OA的距离PD等于_____． O C P B A D (1) (2) 6.如下图，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于（ ） A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm 小结 性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 角平分线的判定： 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上. 小结 O C B 1 A 2 P D E * * * * * * * *