数值分析18(数值微分).ppt

References: / 摄影师Filippo Blengini带领的五人摄影团队放出了一张阿爾卑斯 山的最高峰—勃朗峰的全景照片。这张全景的像素达到了令人震惊的3650亿像素(365gigapixels)！他们在15天的时间里拍下了7万多张照片、收集到了46TB的数据、并经过了2个月的后期制作,最终得以完成这张全景。 * 参考文献: 1. GradientShop: Gradient-Domain Image and Video Processing 2. Gradient Domain Manipulation Techniques in Vision and Graphics 3. Poisson Image Editing 4. Why I Want a Gradient Camera */32 */32 导数的数值计算方法 数值求导的外推方法 《数值分析》 19 ? ? * 重温微积分 微分(Differentiation) 积分(Integration) 微分与积分构成了一对互逆的运算 Integrals as Sums and Derivatives as Difference 凡線面體皆設為由小漸大,一剎那中所增之積即微分也。其全積即積分也 * 重温微积分 微积分中蕴含的对立统一思想 * Integrals as Sums and Derivatives as Difference x x1 x2 ·········· xm y y1 y2 ·········· ym 如何计算导数(微分)或者梯度? 函数复杂或仅仅给定 离散的观察数据(函数值)？ * 回顾 导数概念是精确刻画事物变化率的有力工具。 * Science is knowledge which we understand so well that we can teach it to a computer; and if we dont fully understand something, it is an art to deal with it. 计算机程序设计的艺术 Donald Knuth(图灵奖得主) 回顾: Taylor公式 * 一阶前向差分公式 * 两点中心差分公式 二阶导数近似 * 回顾 介值定理 (Intermediate Value Theorem) * 设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在这区间端点处取值不同时,即：f(a)=A,f(b)=B,且A≠B。那么不论C是A与B之间的怎样一个数,在闭区间[a,b]内至少有一点ξ,使得 f(ξ)=C 。 例1. 取h=0.1,分别用两点前向差分公式和两点中心差分公式近似f(x)=1/x在x=2处的导数。 * 0.0108=0.0119= 0.0125 0.0005= 0.0006 = 0.0007 舍入误差 到目前为止,所有公式都破坏了不要进行相近数相减的规则。这对于数值微分是一个极大的困难,但是它在本质上式不可能避免的。 例2. 求f(x)=ex 在x=0处导数的近似。 h 前向差分 误差 中心差分 误差 * 例3. 基于中心差分公式的研究更高阶近似公式 * 松弛思想 目标值Q有两个精度相当的近似值F1和F2,如果将这两个近似值加工成更高精度的结果呢?改善精度的一种简便而有效的办法是,取两者的某种加权平均值作为改进值,即令 适当选取平均化系数 调整校正量 以将F1加工成某个更高精度结果。这种基于校正量的调整或松动的方法称之为松弛方法。 * * 例4. 推导中心差分公式的Richardson外推公式 * 是否可以进一步地外推? 例5. 用Richardson外推公式计算f(x)=x2e-x在x=0.5的导数。 * 1. n阶差分, diff(X,N,DIM) X = [3 7 5; 0 9 2], diff(X,1,1), diff(X,1,2) Matlab微分 I=imread(lena_color_512.tif); imshow(diff(I),[]) 2. 符号微分diff syms x; f=(sin((x^tan(x))*cos