稳定分布及广义中心极限定理.pdf

稳定分布与广义中心极限定理 Jake @集智俱乐部 2011-6-16 一、真的是幂律吗？ 幂律分布是复杂系统中一种非常常见的现象，例如收入的分布、地震等级的分布、单词 使用频率的分布等等，几乎横跨了从自然到社会的多种学科(关于幂律分布的实证分析，请 [1] [2] 参看Mark Newmann 的文章 ，有关幂律分布成因的讨论，请参看这里 。我们集智也曾对 幂律分布进行过讨论，参见1、2) 。 然而，幂律分布真的那么普遍吗？随着对大量数据的收集，我们发现，所谓的幂律仅仅 适用于分布曲线的高端部分 （也就是x 很大的部分），这一点从分析幂律分布的数学表达式 也能看出来。我们知道，如果f(x)是幂律的概率密度函数，那么： f (x ) cx  （1） 假如x 表示的是社会上人们的收入，那么显然x 有可能取0 （社会上存在着收入为0 的 人）。但是，这在幂律分布公式的角度来看是不可能的，这是因为对于α >0，即x 上面的指 数是一个负数，这样就意味着，当x 趋近于0 的时候，f(x) 的值会很快趋近于无穷大。所以， 在幂律分布中，x 必须大于等于一个常数m，这就意味着，幂律分布实际上只适用于尾端部 分：x>m 。那么人们自然要问，收入低端的分布是什么样的呢？难道，收入低于m 值的概率 是0 ？低收入的人们都死绝了吗？ [3] 事实不是这样的，Yakovenko 等人 用美国真实税收情况估计出的收入分布曲线如下图： 美国收入分布的累积概率图，图片来源[3] 这是 1997 年Yakovenko 等从美国税收数据推出的整个美国收入分布的曲线。其中，横 坐标是收入的数据值，纵坐标是累积概率分布，也就是收入大于横坐标x 的人口比例。我们 看到，收入分布曲线分成了明显的两段，第一段是左边的那段弧形曲线部分，第二段是右下 角的直线。由于图中的坐标是双对数的，所以直线段是幂律的，也就是作者标出的 Pareto 部分，而第一段是曲线的，因而不是幂律的，作者称这部分为Boltzmann-Gibbs 分布，也就 是指数分布。为了看清楚低端是指数分布，作者用小图表示出了在横坐标轴不取对数，纵坐 标轴取对数的图，我们知道指数分布在这样的半对数坐标下就变成了直线，因而收入的低端 应该是指数分布。 不仅仅是收入分布，很多以前被看作是幂律分布的系统，例如股票收益率的分布、复杂 网络上节点的度的分布等等都存在着这种尾端趋近于幂律，头端则明显偏离幂律的现象。人 们不禁要问，难道这些实证上的分布真的是幂律的，还是有其它的分布？ 二、稳定分布（Stable Distribution ） 当你与真正的统计物理学家或者数学家交流的时候，会发现，他们更多地提及一种称之 [4] 为Levy Stable Distribution 或者叫α -Stable Distribution 的模型 而非幂律分布。例如，大名鼎 鼎的Mandelbrot 在1967 年的时候就曾经用这种Stable 分布来拟合棉花期货价格的波动分布 [5] [6] 。经济物理学之父H.E. Stanley 和Mantegna 曾用结尾Stable 分布来拟合股指波动的分布 。 为什么这些数学、物理学家都更倾向于稳定分布而非幂律分布呢？原因是，这个稳定分 布的概率密度函数恰恰具备尾端趋近于幂律分布，而在头端（x0 ）偏离幂律，趋向于指数 分布的性质。 图片来源：/wiki/Stable_distribution 上两张图都是通过变换 Stable Distribution 的不同参数而得到的在双对数坐标下面的概 率密度函数图。我们看到这些曲线都具备类似收入分布的性质：尾端呈现出幂律