人教版高数学经典题目练习.doc

?等比数列｛an｝的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18,求图片中式子的值 解: 由于{an}为等比数列 则:a5a6=a4a7=a3a8=a2a9=a1a10 又a5a6+a4a7=18 则: 2a5a6=18 a5a6=9 则: log3(a1)+log3(a2)+...+log3(a9)+log3(a10) =log3[a1*a2*a3*...*a10] =log3[(a1a10)*(a2a9)*...*(a5a6)] =log3[9*9*...*9] =log3[9^5] =log3[3^10] =10log3[3] =10 ?设数列{an}的前n项和为sn,若对于任意的正整数n都有sn=2an-3n。 (1)设bn=an+3,证明:数列｛bn｝是等比数列(2）求数列｛n倍an｝的前n项和 (1) Sn=2an-3n n=1时，S1=a1,故有：a1=2a1-3,a1=3 n=2时， an=Sn-S(n-1)＝2an-3n-[2a(n-1)-3(n-1)]＝2an-2a(n-1)-3 即：an＝2a(n-1)+3 两边+3 an+3＝2[a(n-1)+3] 而bn=an+3,代入： bn=2b(n-1) 所以数列{bn}是等比数列，q=2,首项为b1=a1+3＝6 bn=6*2^(n-1)=3*2^n an=bn-3=3*2^n-3 (2)设Cn=nan=3n*2^n-3n,为两项和 前n项和为Tn Tn＝3*[1*2^1+2*2^2+3*2^3+……+n*2^n]-[3+6+9+……+3n] 2Tn＝3*[1*2^2+2*2^3+3*2^4+……+(n-1)*2^n+n*2^(n+1)]-2[3+6+9+……+3n] 上式减去下式： -Tn＝3*[1*2^1+2^2+2^3+2^4+……+2^n-n*2^(n+1)]+[3+6+9+……+3n] ＝3*2(2^n-1)/(2-1)-3n*2^(n+1)+n(3+3n)/2 ＝(3-3n)*2^(n+1)+3n(n+1)/2-6 故：Tn＝(3n-3)*2^(n+1)-3n(n+1)/2+6 注：求这类n项和，都是用Tn减去qTn，错位相消法。 ?若多项式x2+x10=a0+a1(x+1)+....+a9(x+1)9+a10(x+1）10，则a9为 A? -11???????????? B-10?????????????? C10???????????????? D11 解析主要是比较系数法。观察可知右边是一个10次多项式，且10次项的系数为a10,比较系数可知a10=1 再看九次项的系数，它由a9(x+1)^9+a10(x+1)^10两项决定，a9(x+1)^9 易知9次项系数为a9, 而a10(x+1)^10中9次项的系数稍微复杂， 将其展成a10(x^2+2x+1)(x^2+2x+1)(x^2+2x+1)(x^2+2x+1)(x^2+2x+1) 而9次项必由4个x^2和1个x相乘得来的,这样9次项的系数为10，所以最后可得9次项的系数为a9+10a10=a9+10 再根据比较系数法a9=-10 ?已知向量a=(sin(π/2+x）,根号cosx),b=(sinx,cosx)f(x)=a*b 1）求f(x)的最小正周期和单调增区间： 2）如果三角形ABC中，满足f(A)=（根号3）/2，求角A的值 解⑴f(x)=a*b=sin(π/2+x）*sinx+√3cosx*cosx =1/2sin2x+√3/2（1+cos2x） =sin（2x+π/3）+√3/2 最小正周期T=2π/2=π 单调递增区间：2x+π/3∈【2kπ-π/2，2kπ+π/2】，即x∈【kπ-5π/6，kπ+π/6】，k∈Z 单调递减区间：2x+π/3∈【2kπ+π/2，2kπ+3π/2】，即x∈【kπ+π/6，kπ+7π/6】，k∈Z 2)、f（A）=√3/2==sin（2A+π/3）+√3/2，得2A+π/3=π，得A=π/3 或2A+π/3=2π，得A=5π/6 ?已知函数f(x)=sin(2x+π/6)+sin(2x-π/6)+2cos^2x 求f（x）的最大值和最小值正周期 求使fx=2的x的取值范围 解⑴f(x)=sin(2x+π/6)+sin(2x-π/6)+2cos^2x =(√3/2)sin(2x)+(1/2)cos(2x)+(√3/2)sin(2x)-(1/2)cos(2x)+1+cos(2x) =√3sin(2x)+cos(2x)+1 =2[(√3/2)sin(2x)+(1/2)cos(2x)]+1 =2sin(2x+π/6)+1 f(x)max=3,最小正周期是π ⑵f(x)≥2,即2sin(2x+π/6)≥1，即sin(2x+π/6)≥1/2