一维热传导方程数值解法及matlab实现.DOC

一维热传导方程的Matlab解法 分离变量法和有限差分法 2010/12/20  问题描述 实验原理 分离变量法实验原理 有限差分法 实验目的 利用分离变量法和有限差分法解热传导方程问题 利用matlab进行建模构建图形 研究不同的情况下采用何种方法 从更深层次上理解热量分布与时间、空间分布关系。 模拟与仿真作业 分离变量法（代码）： x=0:0.1*pi:pi; y=0:0.04:1; [x,t]=meshgrid(x,y); s=0; m=length(j);%matlab可计算的最大数 相当于无穷 for i=1:m s=s+(200*(1-(-1)^i))/(i*pi)*(sin(i*x).*exp(-i^2*t)); end; surf(x,t,s); xlabel(x),ylabel(t),zlabel(T); title( 分离变量法（无穷）); axis([0 pi 0 1 0 100]); 所得到的三维热传导图形为： 有限差分法： u=zeros(10,25); %t=1 x=pi 构造一个1025列的矩阵（初始化为0）用于存放时间t和变量x 横坐标为x 纵坐标为t s=(1/25)/(pi/10)^2; fprintf(稳定性系数S为:\n); disp(s); for i=2:9 u(i,1)=100; end; for j=1:25 u(1,j)=0; u(10,j)=0; end; for j=1:24 for i=2:9 u(i,j+1)=s*u(i+1,j)+(1-2*s)*u(i,j)+s*u(i-1,j); end end disp(u); [x,t]=meshgrid(1:25,1:10); surf(x,t,u); xlabel(t),ylabel(x),zlabel(T); title( 有限差分法解); 所得到的热传导图形为： （2） i分离变量法（取前100项和） x=0:0.1*pi:pi; y=0:0.04:1; [x,t]=meshgrid(x,y); s=0; for i=1:100 s=s+(200*(1-(-1)^i))/(i*pi)*(sin(i*x).*exp(-i^2*t)); end; surf(x,t,u); xlabel(x),ylabel(t),zlabel(T); title( 分离变量法); axis([0 pi 0 1 0 100]); 所得到的热传导图形为： Ii有限差分法 根据（1）我们有如下图 结论： 比较可得这两幅图基本相同，有限差分法和分离变量法对本题都适应 （3） 第一种情况（取无穷项）： 在原来程序代码的基础上加上 disp(s(:,6)); 可得出第六列（即x=pi/2）处温度随时间的变化情况 x=0:0.1*pi:pi; y=0:0.04:1; [x,t]=meshgrid(x,y); s=0; m=length(j);%matlab可计算的最大数，相当于无穷 for i=1:m s=s+(200*(1-(-1)^i))/(i*pi)*(sin(i*x).*exp(-i^2*t)); end; surf(x,t,s); xlabel(x),ylabel(t),zlabel(T); title( 分离变量法（无穷）); axis([0 pi 0 1 0 100]); disp(s(:,6)); 我们得到如下一组数据： 当温度低于50度是 时间为 t=23.5*0.04=0.94 第二种情况（取前100项和） 在原来程序代码的基础上加上 disp(s(:,6)); 可得出第六列（即x=pi/2）处温度随时间的变化情况 x=0:0.1*pi:pi; y=0:0.04:1; [x,t]=meshgrid(x,y); r=0.04/(0.1*pi)^2; fprintf(稳定性系数S为：) disp(r); s=0; for i=1:100 s=s+(200*(1-(-1)^i))/(i*pi)*(sin(i*x).*exp(-i^2*t)); end; surf(x,t,s); xlabel(x),ylabel(t),zlabel(T); title( 分离变量法); axis([0 pi 0 1 0 100]); disp(s(:,6)); 当温度低于50度是 时间为 t=23.5*0.04=0.94 第三种情况（有限差分法） 在原来程序代码的基础上加上 disp(u(5,:));可得出第五行（即x=pi/2）处温度随时间的变化情况 u=zeros(10,25); %t=1 x=pi 10行25列 横坐