An Introduction to finite element method - 欢迎访问同 .ppt

张量分析(Tensor Analysis) 1 张量的概念 一、符号与求和约定 B) 求和约定 B) 求和约定（续） C) 克罗内克(Kronecker)符号 C) 克罗内克符号(续） D) 置换符号 D) 置换符号（续） E) 克罗内克符号与置换符号的关系 二、基矢量 基矢量（续） 基矢量（续2） 三、基本度量张量 续1 续2 四、对偶基矢量、相伴度量张量 B) 相伴（共轭）度量张量 C) 矢量的逆变分量和协变分量 D) 对偶基矢量、相伴度量张量的变换法则 五、张量 A)标量、逆变矢量、协变矢量 协变矢量(一阶协变张量) B) 高阶张量 C) 张量特性 5.2张量代数 二、对称张量、斜对称张量 C) 二阶张量的分解 D) 高阶张量的对称和反对称 三、张量的乘法 张量的乘法（续） 四、张量的缩并、内积 张量的缩并、内积（续） 五、张量指标的提升和下降 5.3 张量演算 A) 基矢量 gi 的偏导数 B) 克里斯托弗符号的性质及其计算 3) 克里斯托弗符号de计算公式 C) 对偶基矢量 gi 的偏导数gi,j 二、矢量的协变导数 B) 矢量的微分 B)协变导数是一二阶张量 协变导数是一二阶张量(续） 三、高阶张量的协变导数 高阶张量的协变导数 若 Aij、 是对称张量， Bij是斜对称张量，可以很容易证明，它们的乘积等于0，即: 张量乘法的性质：张量的乘法是不可交换的。 由几个张量连乘的乘积，则乘积张量中指标排列的次序由连乘张量的排列次序确定。 张量 与张量 不想等。 由于置换张量是关于任一对指标的反对称张 量，因此它与任何一个二阶对称张量 的乘积等于0。 在混合张量中，使一个上标和一个下标相等，然后按求和约定求和，这样的运算，称为缩并。每一缩并，得到一个新张量，比原张量降两阶。 设 Aijkl 是一个四阶混合张量。作缩并运算，则: 若令指标i与k相等，可得： 缩并运算可以应用于任意阶混合张量。 还可将乘法和缩并结合起来形成新张量，这种运算称为两张量的内乘法，得到的张量称为该两张量的内积。如： 运用度量张量 gij 或 gij 可以提升或下降高阶张量的指标。 A) 提升指标 B)下降指标 注：在度量空间，张量可以用它的任一种变异形式的分量的集合来表示。一个张量的协变分量、逆变分量或混合分量是同一个张量的不同异变形式的分量。 一、基矢量的偏导数与克里斯托弗(Christoffel)符号 将偏导数的概念推广，建立协变导数的概念，使得一个张量的协变导数是另一个张量，这是张量演算发展中最重要的里程碑。张量的协变导数是本节讨论的重点。 求一个矢量的导数，必须对它的各个分量与基矢量乘积之和求导： 式中: ?ijk是 沿 gk方向的分量；称为第一种克里斯托弗符号； ?ijk 是 沿 gk方向的分量; 称为第二种克里斯托弗符号。 可以看出基矢量 gi对于坐标 xj 的偏导数也是矢量，它也可以分解成沿对偶基矢量或基矢量方向的分量： 1) 克里斯托弗符号它的第三个指标可以象矢量分量的指标一样提升或下降(但不是张量) 2) 克里斯托弗符号对前两个指标是对称的 若度量张量的分量已知，坐标系的克里斯托弗符号。由此可知，克里斯托弗符号也是坐标系的几何特性。 由于直角坐标系的 是常数，所以在直角坐标系中 4) 克里斯托弗符号不是张量 A) 矢量的偏导数 变换最后一项中两个哑指标的字符， 称为逆变矢量 vi的协变导数。 协变矢量 vi的协变导数。 设坐标系 xi 作容许变换成新坐标系 yi 把矢量V用它在的分量表示为 * 1）熟练运用符号与求和约定； Objectives 2）熟练掌握张量以及包括基矢量、度量张量等基本张量的定义； 3）熟练掌握张量的运算法则； 4）熟练运用张量表示力学的基本方程。 在三维空间，一个矢量（例如力矢量、速度矢量等）在某参考坐标系中，有三个分量；这三个分量的集合，规定了这个矢量；当坐标变换时，这些分量按一定的变换法则变换。 在力学中还有一些更复杂的量。例如受力物体内一点的应力状态，有9个应力分量，如以直角坐标表示，用矩阵形式列出，则有： 这9个分量的集合，规定了一点的应力状态，称为应力张量。当 坐标变换时，应力张量的分量按一定的变换法则变换。 所谓张量是一个物理量或几何量，它由在某参考坐标系中—定数目的分量的集合所规定，当坐标变换时，这些分量按一定的变换法则变换。 张量有不同的阶和结构，这由 它们所遵循的不同的变换法则来区分。矢量是一阶张量；应力张量、应变张量是二阶张量；还有三阶、四阶等高阶张量。 张量是矢量概念的推广。它是一种不依赖于特定坐标系的表达物理定律的方法。