求矩阵函数的多项式表示及f(A)的值.pdf

高等数学研究 V01．13．No．i 76 STUDIESINCoLLEGEMATHEMATICS Jan．，2010 求矩阵函数的多项式表示及厂(A)的值 苏尔 (浙江传媒学院电子信患学院．杭州。310018) 擒要 设A为TIX71阶矩阵。对于充分光滑的函数，(z)，矩阵函数，(A)可以用Hermite插值多项式表示． 进一步求，(A)的值，先将A相似变形为上三角矩阵丁，再用特征值的差商方法对，(T)求值． 关键词 矩阵函数I差商，插值多项式． 中图分类号 0151．21 由文[1]知，n×扎矩阵A的特征矩阵J=I卜一A可化 (yl，娩，…，扎)=Ql，A2，…，．：I，)， 为Smith标准形，即 并且 r(．：I——扎)“lI(|；【——．=11)1…(工——．：1．)^， ．；IJ——A～diag[d1(．：I)，d2(A)，…，d。(A)]， 其中d；Gt)称为盯一A的第i个不变因子，且 { ………………… dfGt)Id斗1(A)，i=I，2，…，，l—1． 【(．=I一扎)～I(A一|：11)“-…(A—A，)mJ， 由于卜矩阵的不变因子与初等因子相互唯一确定， 也等价地表示为 可将不变因子分解为一次因式之积： (．；I一乃)’I(．：I——．：lf)叶， rdlGt)一(．；l——．：L1)勺l…(A——A。)Il一，这里 l ………………… ∞=丸；ni≤仇i，J∈(1，2，…，是)，i∈(1，2，…，s)． 【d。(A)一(A一|：11)f--…(A—A，)～，引理 特征矩阵AJ—A的全部初等因子是 这里A。，儿，…，丸互不相等，由于 Q一竹)”-，(A一讫)色，…，(A一扎)～． 盔n)Id井I(A)，i=l，2，…，砣一1， 若函数，(z)在A的谱影 所以 {(孔，优；)l i=l，2，…，s．∑m；=，，z) eli≤e2i≤…≤％(i一1，2，…，s)， 且e¨e，|2，．．·，e。全不为零． 上有定义，即 如果对于某个 f(2i)，／(Af)，…，，4；．1H～’，i=1，2’．．·，s 各值存在，那么，(z)在 ％=o(j=1，2，…，孢一1，i=1，2，…，s)， 必有 {(乃，吩)IJ一1，2，…，忌) 2 上也有定义，即 eli e2t=…5P(卜l’i=0， 那些所有指数大于零的因子 ，(乃)，／(乃)，…，厂．i-x)t巧’，歹一1，2，…，五 也有存在的值． Q一丸弦O一1,2，…，n；i一1,2，…，s，略O) 都称为Ⅺ一A的初等因予，因此AJ—A的第，1个不变 以下先来讨论矩阵函数，(A)的多项式表示． 因子d。Gt)也就是一次因式最高幂次项的那些初等 复数域上7／×竹矩阵A经相似变形为它的若当标 因子的乘积。为了使记号区别，不妨记|；【J—A的全部准形式，即 初等因子为