第一类曲面积分.pptVIP

同理 合并以上三式得： —————— 高斯公式 由两类曲面积分之间的关系知 Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系. 注 不满足上述条件，可以引进若干张辅助曲面 分成几个有限的小区域使之都满足上述条件 注意到沿辅助曲面相反两侧的两个曲面积分绝对值 相等，而符号相反，相加时正好抵消，因此上述公 式对这样的区域也成立， 故一般地 1。 若 2。公式成立的条件 根据Gauss 公式，用三重积分来计算曲面积分 是比较方便的，但Gauss 公式同时也说明，可用 曲面积分来计算三重积分 例1 解 二、简单的应用 (利用柱面坐标得) 1. 分割 则该点流速为 . 法向量为 . 2. 求和 3.取极限 两类曲面积分之间的联系 向量形式 三、概念及性质 积分曲面 被积函数 有向面积元 类似可定义 存在条件: 组合形式: 物理意义: 性质: 由定义可知对坐标的曲面积分具有与 对坐标的曲线积分相类似的性质 1。 可加性 2 。 反向性 四、对坐标的曲面积分的计算法 注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧. 这就是把对坐标的曲面积分化成二重积分的计算公式 概括为： 代：将曲面的方程表示为二元显函数，然后代入 被积函数，将其化成二元函数 投：将积分曲面投影到与有向面积元素（如dxdy） 中两个变量同名的坐标面上（如xoy 面） 定号： 由曲面的方向，即曲面的侧确定二重积分 的正负号 一代、二投、三定号 注 积分曲面的方程必须表示为单值显函数 否则分片计算，结果相加 ②确定正负号的原则： 曲面取上侧、前侧、右侧时为正 曲面取下侧、后侧、左侧时为负 例1 计算 所截得的在第一卦限的部分的前侧 解 解 例2 例3 计算 平面 x = 0 , y = 0 , z = 0 , x + y + z = 1 所围成的 空间区域的整个边界曲面的外侧 o x y z 解 分成四个部分 左侧 下侧 后侧 上侧 同理 同理 注 对坐标的曲面积分的对称性 被积表达式具有轮换对称性，即将被积 表达式中的所有字母按 x y z 顺序代换后原式不变 积分曲面及其侧具有对称性，这是指曲面 在各坐标面上的投影区域均相同，且配给 的符号也相同 例4 解 注 此例的解法具有普遍性 六、小结 1、物理意义 2、计算时应注意以下两点 曲面的侧 “一投,二代,三定号” Gauss 公式 前面我们将 Newton-Lebniz 公式推广到了平面 区域的情况，得到了Green 公式。此公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系。下面我们再把Green 公式做进一步推广，这就是下面将要介绍的Gauss 公式，Gauss 公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系，同时Gauss 公式也是计算曲面积分的一有效方法。 一、 Gauss 公式 定理 o x y z 证明 首先假设穿过 内部且平行于坐标轴的直线与 的边界曲面 的交点恰好为两个 以投影区域的边界曲线为准线，母线平行与 坐标轴的柱面上介于上下边界曲面之间的部分 根据三重积分的计算法 根据曲面积分的计算法 * 对面积的曲面积分 一、对面积的曲面积分的概念和性质 前面已经介绍了两类曲线积分，对第一类曲线积分 其物理背景是曲线型构件的质量，在此质量问题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，小段曲线的弧长改为小块曲面的面积，相应地得和式 抽象概括得到对面积的曲面积分的概念 实例 所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动. 1.定义 其物理背景是面密度为 f ( x , y , z ) 的曲面块的质量 2.对面积的曲面积分的性质 由上述定义可知 其性质与对弧长的曲线积分的性质完全类似 ⅰ）线性性 ⅱ）可加性 ⅲ）存在性 二、对面积的曲线积分的计算法 按照曲面的不同情况分为以下三种： 则 则 则 这就是把对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式 简述为：一代、二换、三投影 代：将曲面的方程代入被积函数 换：换面积元 投影：将曲面投影到坐标面得投影区域 注： （1）这里积分曲面的方程必须是单值显函数，否则 可利用可加性，分块计算，结果相加 （2）把曲面投影到哪一个坐标面，取决于曲面方程 即方程的表达形式 （3）将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是 把被积函数化为二元函数 （4）切记任何时候都要换面积元 例1 解 例2 计算 与平面 z = 1 所围成的区域的整个边界曲面 解 在