“双曲线及其标准方程”的教学设计 全国二等奖.doc

名称：“双曲线及其标准方程”的教学设计 作者：刘荣锋 地址：江西省赣州市会昌县会昌中学 邮编：342600 邮箱：jhhb2007@163.com “双曲线及其标准方程”的教学设计 江西省赣州市会昌县会昌中学 刘荣锋 一、教材内容解析 “双曲线及其标准方程”与“椭圆及其标准方程”、“抛物线及其标准方程”是圆锥曲线的三种曲线方程，三部分在圆锥曲线中的地位相同。它能在不同层次上体现数学中知识的交汇和解题方法的丰富多彩，也因此备受高考关注。双曲线及其标准方程的概念与椭圆及其标准方程相类似。教材处理也相仿，在知识体系中两者表现为平行关系，但双曲线却是所有圆锥曲线中学习难度最大的一种。所以在教学中一方面要注意与已学习过的椭圆进行类比，在类比迁移中找到知识和方法上的相通处；另一方面也要注重其相异点，以建构起新的数学认知。学好本节课内容是学好圆锥曲线关键之一，对后面能进一步理解掌握由曲线求方程和由方程讨论曲线性质，从而借助形和数的对应关系，把形的问题转化为数来研究。再把数的研究转化为形来讨论，为后用代数方法研究抛物线提供了必要的工具和基础。“双曲线及其标准方程”与“椭圆及其标准方程”从教材地位、作用以及内容极其相似，在建立双曲线及其标准方程概念之前，先复习回顾椭圆的定义、标准方程，再提出问题引入概念。 难点或疑点： 定义的剖析与理解（“差的绝对值”、“2a与2c”的关系） 双曲线的定义，从数学角度上讲语义复杂，学生学习也困难。因此如何分解、组合这个概念的规则，如何引导学生以适当的次序将新规则的学习与构成它的概念组合起来，如何对这个概念进行精细的加工是一个挑战。 突破的关键： 通过问题解决以自然进入新的问题情境，将双曲线的表象信息（曲线）加工为言语信息（定义）。教师在学生使用信息技术的基础上，通过学生的演示用言语不断引导，用技术支持了教师言语指导线索的可认同性，辅助教师使学生获得概念的各部细节，支持了教师的主导作用。学生在教师的指导下选择、控制和推理，行走在教学目标的轨道上 四、教学支持条件 由于轨迹问题通过板画无法达到意想的效果，在教学中，以多媒体教学课件为依托，采用实验探索：通过实验、演示，观察得出的轨迹是双曲线，用坐标法探求方程。 多媒体课件的介入可以增强课堂的趣味性，能够在动态演示中化解教学难点，有效的解决教学重点 五、教学过程设计 （一）设置情景，引发探究 探究一(概念引入)（数学选修1-1 习题2.1 第七题P47页） 问题：圆O的半径为定长r，A是圆内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP垂直平分线和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？拖动点A，观察动点M的轨迹。 学生活动：拖动点A，观察点A分别在圆内与圆外时轨迹形状的变化，从图形中找出几何特征。 探究结果：点A在圆内时为椭圆，满足|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r（常数）, 点A在圆外时为双曲线，满足|QA|-|QO|=|QP|-|QO|=|OP|=r（常数） 教学中可能出现的情况： （1）轨迹为双曲线时，其几何关系式可能有同学能发现，如果发现，让学生说明理由；如果没有发现，教师有必要给出进一步的引导。 （2）可能会有同学提出，当点A在圆上时的轨迹是什么？如果有，引导学生动手做实验得结论；如果没有，教师则因提出让学生思考。 学生初步尝试概括双曲线定义（部分内容，容易忽视“绝对值”“2a与2c”的关系。） [设计意图：数学教学需要一定问题情景的支撑，恰当的问题情景能激起学生的情感体验，有利于学生学习兴趣的激发，也有利于学生良好数学观的形成。因此，在教学中，应力求通过恰当问题情景的创设，让学生产生积极的学习心态，在具体的情景中实现知识的学习。我们以游戏开始，可以激发学生的兴趣，进而激起他们的研究热情。在这一过程中我们不仅给出了研究目标而且体现了数学建模的过程，即把生活中的问题转化成纯数学问题，这时学生自然地产生了探究当动点到圆外的轨迹到底是什么的强烈愿望。让学生在“观察”、“思考”、“探究”等活动中，自己发现问题、提出问题] 探究二(数学实验)（反思、完善定义） 在双曲线定义中，请同学们思考下面问题： Q1：联想到椭圆的定义，你是否感到双曲线中的常数2a也需要某种限制？为什么？ Q2：若2a=2c，则M点的轨迹又会是什么呢？又2a＞2c呢？（实验二） 探究结果： 所以，轨迹为双曲线，必需限制2a＜2c,且2a≠0。学生第一次修改定义.(2a＜2c，非零常数) 设计意图：通过类比椭圆定义中的限制条件，迁移至双曲线中是否成立？让学生大胆猜想，做实验验证。借助于计算机，把难以想象的轨迹，变成直观的、运动的轨迹图形，不仅使学生对双曲