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第四章：信号的谱表示 §4.1 上的傅里叶变换（《信号与系统》第二版（郑君里）3.1，3.2，是上绝对可积函数的全体。 Dirichlet条件：对 A．，即； B．在上有有限个极大值、极小值； C．在上有有限个第一类间断点。 注：Dirichlet条件是充分条件；A保证傅里叶系数有限，B、C保证Riemann可积。 三角函数形式的傅里叶级数： 三角函数集： 是上完备正交集，，T为基波的周期， 三角函数形式的傅里叶级数： 对，的傅里叶级数为： ， （4-1） 其中： （4-2） 为傅里叶系数。 注：即高次方可积函数是低次方可积函数的子空间。 变形 （4-3） 其中： ，， ， （4-4） 图 4-1 注：1)或或是的函数，。 物理意义：第n次谐波的幅度。 2)为第n次谐波的相位。 3)为直流分量。 4)周期信号的频谱只会在等离散频率点上，这种频谱称为离散谱。 图4-2 指数形式的傅里叶级数： 是上完备正交集，。， （4-5） 对，有， ， （4-6） 其中： （4-7） 注：负频率的引入完全由完备性决定。 易知： （4-8） ，。 一般为的复变函数，是离散的，间隔为。 ，和均为的函数。 ：的幅度谱（线谱）， ：的相位谱（线谱）。 利用， 可导出： ， ， ， （4-9） 傅里叶级数（Fourier Series——F.S.）使用范围： 可展成傅里叶级数： 即： （4-10） 由上式可知，t((t0, t0+T)区间与t((t0+T, t0+2T)的F.S.展开式对应相等。 即，若将以为周期进行延拓，所得周期信号的F.S.与上式相同： ， ， （4-11） 可见，对于有限开区间t((t0, t0+T)上的函数作F.S.展开的（4-10）和（4-11）式表明，这种F.S.展开，不但在该有限开区间上成立，而且在区间以外的t((((,()上成立，且收敛于信号在展开区间部分的周期延拓。 上述这段文字描述，是理解一个信号F.S.展开的关键！ 如果信号本身就是周期的，且在一个周期内绝对可积，则必然可以作傅里叶级数展开。形式如（4-11）所示。 周期信号： ， （4-12） 主周期为： （4-13） 函数的对称性与F.S.的定性性质： （4-14） 为偶函数： （4-15） 的傅里叶级数只含有直流和余弦分量。 为奇函数： （4-16） 的傅里叶级数只含有正弦分量。 为奇谐函数： （4-17） 的傅里叶级数只含有奇次正余弦分量（奇次谐波）。 证明： 为偶谐函数： （4-18） 的傅里叶级数只含有偶次正余弦分量（偶次谐波）。 Parseval定理（内积不变性）： 定理（Parseval）：对，则 （4-19） 能量定理：对，有 （4-20） 均方收敛性（依范数收敛，强收敛）： 定理（均方收敛）：对，则 （4-21） 其中：，为逼近误差， ，为均方误差。 注：1) 在个别点，甚至零测度集上不收敛不影响均方收敛性。 2) 2N+1项F.S.方差最小均方最小。 可F.S.展开的充分条件： 可F.S.展开是指：。 定理（可F.S.展开的充分条件）：若，则。 证明：， 　　　 　　　　， 　　　。 推论：若，则。 原因是，。 Gibbs现象：若用F.S.逼近f(t)，在间断点处不收敛，且在间断点的邻域内出现减幅震荡的奇异现象，震荡的第一峰最大，峰起值约为间断点处跳变的9%。这种现象称为吉布斯（Gibbs）现象。 图4-3 §4.2 典型周期信号的谱（《信号与系统》第二版（郑君里）3.3） 周期矩形脉冲信号： ， （4-22） 图4-4 ， ， （4-23） 图4-5 图4-6 注：1) 的频谱为可列的无穷多条线谱； 2) 谱线间隔为；分析时间加长，谱分辨率提高。 3) 线谱包络：； 4) 0到第一零点之间谱线个数： ， （表示对 ? 取整）。 §4.3 上的函数的傅里叶变换 　　（《信号与系统》第二版（郑君里）3.4，3.5，3.6） 问题的提出： 考虑：令，，则，则，谱线间隔：， 此时，信号由周期信号变为非周期信号，其频谱由离散谱变为连续谱。