十项全能之柯西不等式供参习.doc

第三讲 柯西不等式 【思维导图】 【自主学习导航】 本节是人教A版选修4-5不等式选讲的内容，是学习平均不等式后的又一经典不等式，学习本节一方面为可以巩固对不等式的基本证明方法的掌握，也为学习三角不等式，排序不等式打下基础。运用柯西不等式可解决比较典型的数学问题，如：证明不等式、求最值等。 【目标定位】 理解柯西不等式的二维形式和向量形式 能运用柯西不等式的二维形式解决一些简单问题 了解柯西的主要贡献，贯穿数学史教育 【名师点拨】 本节不等式的证明当中，也运用了之前所学的比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法等，注意每种方法的特点、使用范围、及解题格式。通过探索柯西不等式的特点体会其在解不等式题型的优越性。 向量的数量积的这个性质正是柯西不等式的向量形式，是本节内容的“知识生长点”，是学生思维的“最近发展区”。 【典例析悟】 类型一：求函数或表达式的最值。 例1：求函数的最大值 分析：利用不等式解决极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件，观察此题形式是ac+bd，就能利用柯西不等式求其最大值。 解析：的定义域是[1,5],且y0. ≤5?+ = = 当且仅当时，等号成立，即时函数取得最大值 变式训练1 ．若实数满足，则的最小值为 ∵ 即， ∴ 答案： 变式训练2 求函数的最大值， ∵函数的定义域为，且 ∴ 变式训练3 若是正数，且满足，则的最小值为______ ∵ 类型二：证明等式或不等式 例2：求证:点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=. 证明:设Q(x,y)是直线上任意一点,则Ax+By+C=0.因为|PQ|2=(x-x0)2+(y-y0)2,A2+B2≠0,由柯西不等式得 (A2+B2)［(x-x0)2+(y-y0)2］≥［A(x-x0)+B(y-y0)］2=［(Ax+By)-(Ax0+By0)］2=(Ax0+By0+C)2,所以|PQ|≥. 当时,取等号,由垂线段最短得d=. 已知大于1的正数x，y，z满足x＋y＋z＝3. (1)求证：＋＋≥. (2)求＋＋的最小值． (1)证明：由柯西不等式得： (＋＋)[(x＋2y＋3z)＋(y＋2z＋3x)＋(z＋2x＋3y)]≥(x＋y＋z)2＝27， ＋＋≥. (2)解：＋＋ ＝＋＋ 由柯西不等式得： (＋＋)[log3(xy)＋log3(yz)＋log3(zx)]≥9， 所以＋＋ ≥ ＝ 已知正数x,y,z满足x+y+z=xyz,且不等式≤λ恒成立,求λ的范围. 解析:由二元均值不等式及柯西不等式,得 ≤ 故λ的取值范围是［,+∞). 已知实数a，b，c满足a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，求证：－≤c≤1.a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1. a＋2b＝1－c，a2＋b2＝1－c2. 由柯西不等式(12＋22)(a2＋b2)≥(a＋2b)2 知5(1－c2)≥(1－c)2，整理得3c2－c－2≤0. 解之得－≤c≤1. 1．设a，bR＋，P＝a3＋b3，Q＝a2b＋ab2，则P、Q间的大小关系是() (A)PQ (B)P≥Q (C)PQ (D)P≤Q 2．已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是() (A) (B) (C) (D) 3．设a0，b0且a≠b，P＝＋，Q＝a＋b，则() (A)PQ (B)P≥Q (C)PQ (D)P≤Q 4．已知x，y，zR＋，且x＋y＋z＝4，则＋2＋的最大值为________． 5设a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥9.设a，b，c为正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.设x＋2y＋3z＝3，求4x2＋5y2＋6z2的最小值 若a，b，cR＋，且a＋b＋c＝6，求＋＋的最大值． 已知x，y，z是正实数，求证： ＋＋≥. 已知x≤0，且满足3x＋4y＝13，求x2＋4y2的最小值． (2010年高考浙江卷)设正实数a，b，c，满足abc≥1.求＋＋的最小值． 已知非负实数x，y，z满足x＋ay＋(1－a)z＝1，其中0＜a＜1，设t＝x2＋ay2＋(1－a)z2 (1)求t的最小值； (2)当t＝1时，求x的取值范围． 3．(2009年高考浙江卷)已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1. (1)求证：＋＋≥； (2)求4x＋4y＋的最小值．已知正数a，b，c满足a＋b＋c＝1， (1)求证：≤； (2)求＋＋的最小值．5．(2010年浙江第二次五校联考)已知a，b，cR＋，a＋b＋c＝1. (1)求(a＋1)2＋4b2＋9c2的最小值； (2)求证：＋＋≥.解析：由柯西不等式得：(a