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(高中数学竞赛平面几何讲座第二讲巧添辅助妙解竞赛题
高中数学竞赛平面几何讲座第二讲 巧添辅助妙解竞赛题
在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路.
1 挖掘隐含的辅助圆解题
有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化.
1.1? 作出三角形的外接圆
例1 如图1,在△ABC中,AB=AC,D是底边BC上一点,E是线段AD上一点且∠BED=2∠CED=
∠A.求证:BD=2CD.
分析:关键是寻求∠BED=2∠CED与结论的联系.
容易想到作∠BED的平分线,但因BE≠ED,故不能
直接证出BD=2CD.若延长AD交△ABC的外接圆
于F,则可得EB=EF,从而获取.
证明:如图1,延长AD与△ABC的外接圆相交于点F,连结CF与BF,则∠BFA=∠BCA=∠ABC=∠AFC,即∠BFD=∠CFD.故BF:CF=BD:DC.
又∠BEF=∠BAC,∠BFE=∠BCA,从而∠FBE=∠ABC=∠ACB=∠BFE.
故EB=EF.
作∠BEF的平分线交BF于G,则BG=GF.
因∠GEF=∠BEF=∠CEF,∠GFE=∠CFE,故△FEG≌△FEC.从而GF=FC.
于是,BF=2CF.故BD=2CD.
1.2?利用四点共圆
例2 凸四边形ABCD中,∠ABC=60°,∠BAD=
∠BCD=90°,?
AB=2,CD=1,对角线AC、BD交于点O,如图2.
则sin∠AOB=____.
分析:由∠BAD=∠BCD=90°可知A、B、C、D
四点共圆,欲求sin∠AOB,联想到托勒密定理,只须求出BC、AD即可.
解:因∠BAD=∠BCD=90°,故A、B、C、D四点共圆.延长BA、CD交于P,则∠ADP=∠ABC=60°.
设AD=x,有AP=x,DP=2x.由割线定理得(2+x)x=2x(1+2x).???解得AD=x=2-2,BC=BP=4-.
由托勒密定理有
BD?CA=(4-)(2-2)+2×1=10-12.
又SABCD=S△ABD+S△BCD=. 故sin∠AOB=
例3 已知:如图3,AB=BC=CA=AD,AH
⊥CD于H,CP⊥BC,CP交AH于P.求证:
△ABC的面积S=AP?BD.?
分析:因S△ABC=BC2=AC?BC,只
须证AC?BC=AP?BD,转化为证△APC∽△BCD.这由A、B、C、Q四点共圆易证(Q为BD与AH交点).
证明:记BD与AH交于点Q,则由AC=AD,AH⊥CD得∠ACQ=∠ADQ.
又AB=AD,故∠ADQ=∠ABQ.
从而,∠ABQ=∠ACQ.可知A、B、C、Q四点共圆.
∵∠APC=90°+∠PCH=∠BCD,∠CBQ=∠CAQ,
∴△APC∽△BCD.
∴AC?BC=AP?BD.
于是,S=AC?BC=AP?BD.
?
2 构造相关的辅助圆解题
?
有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构造出与题目相关
的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决.
2.1?联想圆的定义构造辅助圆
例4 如图4,四边形ABCD中,AB∥CD,AD=DC
=DB=p,BC=q.求对角线AC的长.?
分析:由“AD=DC=DB=p”可知A、B、C在
半径为p的⊙D上.利用圆的性质即可找到AC与
p、q的关系.
解:延长CD交半径为p的⊙D于E点,连结AE.
显然A、B、C在⊙D上.
∵AB∥CD,
∴弧BC=弧AE.
从而,BC=AE=q.
在△ACE中,∠CAE=90°,CE=2p,AE=q,故
AC==.
2.2?联想直径的性质构造辅助圆
例5 已知抛物线y=-x2+2x+8与x轴交于B、C两点,点D平分BC.若在x轴上侧的A点为抛物线上的动点,且∠BAC为锐角,则AD的取值范围是____.
分析:由“∠BAC为锐角”可知点A在以定线段BC为直径的圆外,又点A在x轴上侧,从而可确定动点A的范围,进而确定AD的取值范围.
解:如图5,所给抛物线的顶点为A0(1,9),
对称轴为x=1,与x轴交于两点B(-2,0)、
C(4,0).?
分别以BC、DA为直径作⊙D、⊙E,则
两圆与抛物线均交于两点P(1-2,1)、
Q(1+2,1).
可知,点A在不含端点的抛物线PA0Q
内时,∠BAC<90°.且有3=DP=DQ<AD
≤DA0=9,即AD的取值范围是3<AD≤9.
2.3?联想圆幂定理构
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