(高中数学竞赛几何专题1从调和点列到Apollonius圆到极线.docVIP

2012暑期专题——几何（1）从交比到调和点列到Apollonius圆到极线极点 2010年10月17日结束的2010年全国高中数学联赛平面几何题目为：如图1，锐角三角形 ABC 的外心为 O，K 是边 BC 上一点（不是边 BC 的中点），D 是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M． 求证：若OK⊥MN，则ABDC 四点共圆． 图 1 本题颇有难度，参考答案的反证法让有些人“匪夷所思”，其实这是一系列射影几何中常见而深刻结论的自然“结晶”，此类问题在国家队选拔考试等大赛中屡见不鲜。本文拟系统的介绍交比、调和点列、完全四边形、Apollonius圆、极线等射影几何的重要概念及应用，抽丝剥茧、溯本求源，揭示此类问题的来龙去脉，并在文中给出上题的一种简洁明了的直接证明。 知识介绍 定义1 线束和点列的交比：如图2，共点于O的四条直线被任意直线所截的有向线段比称为线束OA、OC、OB、OD或点列ACBD的交比。[1] 定理1 线束的交比与所截直线无关。 图 2 证明：本文用[ABC]表示ABC面积，则 从而可知线束交比与所截直线无关。 定义2 调和线束与调和点列：交比为-1，即的线束称为调和线束，点列称为调和点列。显然调和线束与调和点列是等价的，即调和线束被任意直线截得的四点均为调和点列，反之，调和点列对任意一点的线束为调和线束。 定理2 调和点列常见形式：（O为CD中点） （1）、 （2）、 (3)、 AC*AD=AB*AO (4)、 AB*OD=AC*BD 证明：由基本关系式变形即得，从略。 定理3 一直线被调和线束中的三条平分当且仅当它与第四边平行（由定义即得，证略） 定义3 完全四边形：如图3，凸四边形ABCD各边延长交成的图形称为完全四边形ABCDEF，AC、BD、EF称为其对角线（一般的四条直线即交成完全四边形）[2]。 定理4 完全四边形对角线互相调和分割。即AGCH、BGDI、EHFI分别构成调和点列。 图 3 分析：只需证EHFI为调和点列，其余可类似证得，也可由线束的交比不变性得到。 证法一：面积法 ，即。 证法二：由Ceva定理，由Menelaus定理得到，故 ，即EHFI为调和点列。 定理5 完全四边形ABCDEF中，四个三角形AED、ABF、EBC、FDC的外接圆共点，称为完全四边形的密克（Miquel）点。 证明：设出两圆交点，证它在其余圆上即可。 图 4 定义4 阿波罗尼斯（Apollonius）圆：到两定点A、B距离之比为定值k（）的点的轨迹为圆，称为Apollonius圆，为古希腊数学家Apollonius最先提出并解决[2]（注：当k=1时轨迹为AB中垂线也可看成半径为无穷大的圆）。 证明：如图4由AP=kPB，则在AB直线上有两点C、D满足故PC、PD分别为∠APB的内外角平分线，则CP⊥DP，即P点的轨迹为以CD为直径的圆O(O为CD中点)。（注：解析法亦可证得） 显然图4中ACBD为调和点列。 定理6 在图4中，当且仅当PB⊥AB时，AP为圆O的切线。 证明：当PB⊥AB时∠APC=∠BPC=∠CDP故AP为圆O的切线，反之亦然。 定理7 Apollonius圆与调和点列的互推 如下三个条件由其中两个可推得第三个： 1.PC（或PD）为∠APB内（外）角平分线 2. CP⊥PD 3.ACBD构成调和点列（证略） 定义5 反演：设A为○O（r）平面上点，B在射线OA上，且满足OA*OB=r*r，则称A、B以○O为基圆互为反演点。 定理8 图4中，以Apollonius圆为基圆，AB互为反演点。（由定理2（2）即得。） 定义6 极线与极点：设A、 B关于○O（r）互为反演点，过B做OA的垂线l称为A点对圆O的极线；A点称为l的极点。[3] 定理9 当A点在○O外时，A的极线为A的切点弦。（由定理6即得。） 图 5 定理10 若A的极线为l，过A的圆的割线ACD交l于B点，则ACBD为调和点列。 证明：如图5，设A的切点弦为 PQ，则 即ACBD为调和点列。 定理11 配极定理：如图6，若A点的极线通过另一点D，则D点的极线也通过A。一般的称A、D互为共轭点。 证法一：几何法，作AF⊥OD于F，则DFGA 共圆，得OF*OD= OG*OA =，由定义6知AF即为D的极线。 图 6 证法二：解析法，设圆O为单位圆，A（）, D（），A的极线方程为，由D在其上，得，则A在上，即A在D的极线上。 定理12 在图6中，若A、D共轭，则 定义7 调和四边形：对边积相等的圆内接四边形称为调和四边形。（因圆上任意一点对此四点的线束为调和线束，故以此命名） 定理13 图5中PDQC为调和四边形。 证明