工科数分2011-2012(下)期中完整答案__1_.docVIP

北京航空航天大学 2011－2012 学年 第二学期期中 《 工科数学分析（2） 》 班号 学号 姓名 成绩 题 号 一 二 三 四 五 六 七 总分 成 绩 阅卷人 校对人 2012年04月25日 求解下面问题（每小题8分，满分48分） 1)已知及点、，求函数在点处沿由到方向的方向导数，并求此函数在点处方向导数的最大值。 解：由条件得 -------------1分 --------------2分 从而 = --------------2分 点A的梯度方向是 -------------1分 所以方向导数的最大值是 --------------2分 2)将函数在上展开成Fourier级数. 解：将函数延拓成的上周期为的函数，延拓后函数的不连续点为，Fourier系数为 -------------2分 --------------2分 ----2分 由收敛定理，的Fourier级数 -------------2分 3) 求函数在点(0,0)处的重极限和两个累次极限. 解： ，因此重极限为.-------------4分 因为与均不存在，所以累次极限均不存在. -------------4分 4)求曲线点处的切线与法平面方程. 解：记 -------------1分 曲线在点的切向量为 -------------3分 所以曲线在的切线方程为：-------------2分 曲线在处的法平面方程为： -------------2分 另解：将看做x的隐函数，则在点处的切向量为，其中利用隐函数组求导的方法计算即可（方程组两边关于x求导） ---------------------（切向量4分，方程各2分，共8分）. 5)证明方程所确定的隐函数满足方程 解：方程两边分别关于x,y求偏导，得------------2分 -------------2分 可得 ， -------------2分 带入验证满足方程得证. -------------2分 6) 设有连续的二阶偏导,求 解： -------------2分 -------------2分 -------------4分 (本题满分10分) 设满足方程，且其图形在点与曲线相切，求函数. 解：由特征方程, ------------2分 对应齐次方程的通解 -------------2分 设特解为，其中A为待定常数， 代入方程，得 从而得通解, ------------（求出非齐方程特解）3分 由条件知满足 代入初始条件得 最后得 .-------------（带入初值条件求出结果）3分 (本题满分10分) 讨论函数在原点(0,0)处的连续性、可偏导性和可微性. 解： 由于，所以----------2分 从而函数点连续. 由偏导数的定义 即函数点偏导数存在，且值为1. ------------4分（每个偏导2分） 记