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一元二次方程实根的分布 一元二次方程实根的分布是二次方程中的重要内容，在各类竞赛和中考中经常出现。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于一元二次方程根的判别式和根与系数关系（韦达定理）的运用。本文将在前面方法的基础上，结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的情况及其运用。 一．一元二次方程实根的基本分布——零分布 一元二次方程实根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。对于这类问题，用一元二次方程根的判别式和根与系数关系（韦达定理）即可判别。 一元二次方程（）的两个实数根为、，则 、均为正△0，＋＞0，＞0； 、均为负△0，＋＜0，＞0； 、一正一负＜0。 例1．关于的一元二次方程有两个负数根，求实数取值范围。 解：设两个实数根为、，依题意有 由①得：，，恒成立。 由②得：＜0，解之，＞。 由③得：＞0，解之，＞7。 综上，的取值范围是＞7。 例2．若＞0，关于的方程有两个相等的正实数根，求的值。 解：设两个实数根为、，依题意有 由①得：，，或。 若，则＋＜0，不符合②，舍去。 故，此时均符合②、③， 。 二．一元二次方程实根的非零分布——分布 设一元二次方程（）的两实根为、，且，为常数。则一元二次方程实根的分布指、相对于的关系，例如、均比大，或者、均比小，或者、一个比大，一个比小等等。 、均比常数大△0，（－）＋（－）＞0，（－）（－）＞0； 、均比常数小△0，（－）＋（－）＜0，（－）（－）＞0； 、一个比大，一个比小△＞0，（－）（－）＜0。 例3．若方程的两根均大于1，求实数的取值范围。 解：设两个实数根为、，由韦达定理得：＋，。 依题意有 由①得：，解之，或。 由②得：＞2，解之，＞1。 由③得：，解之，＞1。 综上，的取值范围是。 当所考查的根的分布不仅仅限于正负性时，比如两个实数根都介于2与4之间（不包括2和4），或者两根中一根介于0与1之间，另一个根介于3与4之间，这时用根的判别式及韦达定理解决问题就相当复杂。那么比较朴素的方法就是直接去求出方程的根，但是这一方法有两个弊端：第一，带有参数的方程求根是个较复杂的过程，且涉及较深的不等式解法：第二，抽象数量运算较多，缺乏直观性。这时借助于二次函数图像，就比较直观且容易理解。 我们知道，如果二次函数的图像与轴有交点，那么交点的横坐标即为二次方程的实数根。反之亦然。利用这一点来看 问题1：什么条件下，二次方程两个实数根、一个比大，另一个比小（是给定的常数）？ 上面问题等价于：什么条件下，二次函数图像与轴两个交点分布在点两侧？利用图像说明（简单起见，只画横轴，不画纵轴）。 显然，当时，； 当时，。 问题2：什么条件下，二次方程两个实数根、都比常数大？ 构造二次函数，结合图形， 当时，△0，，；当时，△0，，。 问题3：什么条件下，二次方程两个实数根、都比常数小？ 构造二次函数，结合图形， 当时，△0，，；当时，△0，，。 问题4：什么条件下，二次方程两个实数根、满足＜，＞（其中、为给定常数且＜）？ 构造二次函数，结合图形， 当时，，；当时，，。 问题5：什么条件下，二次方程两个实数根、均介于、之间（其中、为给定常数且＜）？ 构造二次函数，结合图形， 当时，△0，，，； 当时，△0，，，。 看几个具体事例。 例4：为实数，关于的二次方程有两个实数根分别介于0与1之间以及1与2之间，求的取值范围。 解：构造二次函数，结合图形，有， 解之，， 故取值范围是。 例5：已知为整数，且方程两根都大于且小于，求值。 解：显然，。 构造二次函数，则其图像与轴两个交点均介于、之间（不包括两个端点）。如图，则有 由①得：， 由②得：，解之得 ， 由③得：，解之得 。 故的取值范围是。所以可取的整数值为。 例6：若、为整数，方程的两个实数根都大于且小于，求与的值。 解：构造二次函数，则其图像与轴的两个交点均在与之间（不包括两个端点）。如图，则有