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§2.1 函数及其表示
1. 函数的基本概念
(1)函数的定义
给定两个非空的数集A和B,如果按照某个对应关系f,对于集合A中任何一个数x,在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应,那么对把对应f叫作定义在集合A上的函数,记作f:A→B或y=f(x),x∈A.
(2)函数的定义域、值域
在函数y=f(x),x∈A中,x叫作自变量,集中A叫作函数的定义域;集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域.
(3)函数的三要素:定义域、对应关系和值域.
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有列表法、图像法和解析法.
2. 映射的概念
两个非空集合A与B间存在着对应关系f,而且对于集合A中的每一个元素x,B中总有唯一的一个元素y与它对应,就称这种对应为从A到B的映射.
3. 函数解析式的求法
求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法.
4. 常见函数定义域的求法
(1)分式函数中分母不等于零.
(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域为R.
(4)y=ax (a0且a≠1),y=sin x,y=cos x,定义域均为R.
(5)y=tan x的定义域为.
(6)函数f(x)=xα的定义域为{x|x∈R且x≠0}.
1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f(x)=与g(x)=x是同一个函数.( × )
(2)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等.( × )
(3)若函数f(x)的定义域为{x|1≤x3},则函数f(2x-1)的定义域为{x|1≤x5}.( × )
(4)f(x)=,
则f(-x)=.( √ )
(5)函数f(x)=+1的值域是{y|y≥1}.( × )
(6)函数是特殊的映射.( √ )
2. (2013·江西)函数y=ln(1-x)的定义域为( )
A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]
答案 B
解析 由得,函数定义域为[0,1).
3. (2012·安徽)下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是( )
A.f(x)=|x| B.f(x)=x-|x|
C.f(x)=x+1 D.f(x)=-x
答案 C
解析 将f(2x)表示出来,看与2f(x)是否相等.
对于A,f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x);
对于B,f(2x)=2x-|2x|=2(x-|x|)=2f(x);
对于C,f(2x)=2x+1≠2f(x);
对于D,f(2x)=-2x=2f(x),
故只有C不满足f(2x)=2f(x),所以选C.
4. (2012·福建)设f(x)=
g(x)=则f(g(π))的值为( )
A.1 B.0 C.-1 D.π
答案 B
解析 根据题设条件,∵π是无理数,∴g(π)=0,
∴f(g(π))=f(0)=0.
5. 给出四个命题:
①函数是其定义域到值域的映射;②f(x)=+是函数;③函数y=2x (x∈N)的图像是一条直线;④函数的定义域和值域一定是无限集合.
其中正确命题的序号有________.
答案 ①②
解析 对于①函数是映射,但映射不一定是函数;
对于②f(x)是定义域为{2},值域为{0}的函数;
对于③函数y=2x (x∈N)的图像不是一条直线;
对于④由于函数的关系可以用列表的方法表示,有些用列表法表示的函数的定义域和值域都不是无限集合.
题型一 函数的概念
例1 有以下判断:
①f(x)=与g(x)=表示同一函数;
②函数y=f(x)的图像与直线x=1的交点最多有1个;
③f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1是同一函数;
④若f(x)=|x-1|-|x|,则f=0.
其中正确判断的序号是________.
思维启迪 可从函数的定义、定义域和值域等方面对所给结论进行逐一分析判断.
答案 ②③
解析 对于①,由于函数f(x)=的定义域为{x|x∈R且x≠0},而函数g(x)=的定义域是R,所以二者不是同一函数;对于②,若x=1不是y=f(x)定义域内的值,则直线x=1与y=f(x)的图像没有交点,如果x=1是y=f(x)定义域内的值,由函数定义可知,直线x=1与y=f(x)的图像只有一个交点,即y=f(x)的图像与直线x=1最多有一个交点;对于③,f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同,所以f(x)和g(t)表示同一函数;对于④,由于f=-=0,所以f=f(0)=1.综上可知,正确的判断是②③.
思维升华 函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定;当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数.值得注意的是,函数的对应关系是就效果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同,只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值,按照这两
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