2015年高考数学热点点试题考纲解读专题专题16 几何证明选讲2015年高考数学热点难点试题考纲解读专题专题16 几何证明选讲.doc

【2015年高考考纲解读】 高考对本内容的考查主要有： (1)三角形及相似三角形的判定与性质； (2)圆的相交弦定理，切割线定理；[来源:学优高考网gkstk] (3)圆内接四边形的性质与判定； (4)相交弦定理，本内容考查属B级要求. 1．(1)相似三角形的判定定理 判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． (2)相似三角形的性质 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；[来源:学优高考网gkstk] 相似三角形周长的比等于相似比； 相似三角形面积的比等于相似比的平方． (3)直角三角形的射影定理：直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项；斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项． 2．(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数． 3．(1)圆内接四边形的性质定理： 圆的内接四边形的对角互补； 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角． (2)圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆． 4．(1)圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． (2)圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．[来源:gkstk.Com] (4)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． (5)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 5．证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换或等比替换． 6．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比．由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用. 考点一　相似三角形的判定及性质 【例1】 (1)(2014·天津)如图，ABC是圆的内接三角形， BAC的平分线交圆于点D， 交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论： BD平分CBF； FB2＝FD·FA； AE·CE＝BE·DE； AF·BD＝AB·BF. 则所有正确结论的序号是(　　) A．　　　　　　B． C． D． (2)(2014·广东) (几何证明选讲选做题)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则＝________. 命题意图 (1)本题背景新颖，涉及圆的性质以及相似三角形等知识点，意在考查考生的逻辑推理能力． (2)本题主要考查相似三角形的判定与性质． 答案(1)D　(2)9 解析(1)因为BAD＝FBD，DBC＝DAC，又AE平分BAC，所以BAD＝DAC，所以FBD＝DBC，所以BD平分CBF，结论正确；易证ABF∽△BDF，所以＝，所以AB·BF＝AF·BD，结论正确；由＝，得BF2＝AF·DF，结论正确，选D.[来源:gkstk.Com] (2)在平行四边形ABCD中，因为EB＝2AE，所以＝＝，故＝3.因为AECD，所以AEF∽△CDF，所以＝2＝9. 判定两个三角形相似要注意结合图形的特点灵活选择判定定理 (1)证明三角形相似，往往可以转化为证明角相等，而证明角相等的方法有弦切角、圆周角和圆心角等相关结论． (2)证明三角形相似时也可以转化为证明线段成比例，而证明线段成比例的方法有射影定理、相交弦定理、割线定理和切割线定理等． 如图，ABC内接于圆O，AD平分BAC交圆O于点D，过点B作圆O的切线交直线AD于点E.求证： [来源:gkstk.Com] (1)EBD＝CBD； (2)AB·BE＝AE·DC. 证明(1)∵BE为圆O的切线， EBD＝BAD， 又AD平分BAC，BAD＝CAD， EBD＝CAD，[来源:学优高考网] 又CBD＝CAD， EBD＝CBD. 【变式探究】如图，已知圆上的弧A＝B，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点． 证明：(1)ACE＝BCD； (2)BC2＝BE·CD. 【规律方法】在证明角或线段相等时，要注意等量代换．在证明线段的乘积相等时，通常用三角形相似或圆的切割线定理． 【】 如图，D，E分别为ABC边AB，AC的中点，直线DE交ABC