2015年高中数学步步大一轮复习讲义(文科)第8讲 函数与方程2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第8讲 函数与方程.doc

第8讲 函数与方程 一、选择题 ．设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间(　　)． A．(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3) 解析　f(x)＝ex＋x－4，f′(x)＝ex＋10，函数f(x)在R上单调递增．对于A项，f(－1)＝e－1＋(－1)－4＝－5＋e－10，f(0)＝－30，f(－1)f(0)0，A不正确，同理可验证B、D不正确．对于C项，f(1)＝e＋1－4＝e－30，f(2)＝e2＋2－4＝e2－20，f(1)f(2)0，故选C. 答案　C ．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(　　)． A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) 解析　f(x)＝2x＋3x在R上为增函数，且f(－1)＝2－1－3＝－，f(0)＝1，则f(x)＝2x＋3x在(－1,0)上有唯一的一个零点． 答案　B 3．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　)． A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2) 解析　由条件可知f(1)f(2)0，即(2－2－a)(4－1－a)0，即a(a－3)0，解之得0a3. 答案　C 4．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为(　　)． A．6 B．7 C．8 D．9 解析　当0≤x2时，令f(x)＝x3－x＝0，得x＝0或x＝1. 根据周期函数的性质，由f(x)的最小正周期为2，可知y＝f(x)在[0,6)上有6个零点， 又f(6)＝f(3×2)＝f(0)＝0， f(x)在[0,6]上与x轴的交点个数为7. 答案　B．设函数f(x)(xR)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x[0,1]时，f(x)＝x3.又函数g(x)＝|xcos(πx)|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在上的零点个数为(　　)． A．5 B．6 C．7 D．8 解析　由题意知函数y＝f(x)是周期为2的偶函数且0≤x≤1时，f(x)＝x3，则当－1≤x≤0时，f(x)＝－x3，且g(x)＝|xcos(πx)|，所以当x＝0时，f(x)＝g(x)．当x≠0时，若0x≤，则x3＝xcos(πx)，即x2＝|cos πx|.同理可以得到在区间，，上的关系式都是上式，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图像，如图所示，有5个根．所以总共有6个． 答案　B ．方程x2＋x－1＝0的解可视为函数y＝x＋的图象与函数y＝的图象交点的横坐标，若x4＋ax－4＝0的各个实根x1，x2，…，xk(k≤4)所对应的点(i＝1,2，…，k)均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是(　　)．A．R B． C．(－6,6) D．(－∞，－6)(6，＋∞) 解析　(转化法)方程的根显然x≠0，原方程等价于x3＋a＝，原方程的实根是曲线y＝x3＋a与曲线y＝的交点的横坐标；而曲线y＝x3＋a是由曲线y＝x3向上或向下平移|a|个单位而得到的． 若交点(i＝1,2，…，k)均在直线y＝x的同侧， 因直线y＝x与y＝交点为：(－2，－2)，(2,2)； 所以结合图象可得：或 a∈(－∞，－6)(6，＋∞)；选D. 答案　D 二、填空题 ．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)0，f(0.5)0可得其中一个零点x0______，第二次应计算________． 解析f(x)＝x3＋3x－1是R上的连续函数，且f(0)0，f(0.5)0，则f(x)在x(0,0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证f(0.25)的符号． 答案(0,0.5)　f(0.25) ．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________． 解析画出图象，令g(x)＝f(x)－m＝0，即f(x)与y＝m的图象的交点有3个，0m1. 答案(0,1) 9.函数f(x)= 的零点个数为_______. 解析 作出函数f(x)的图象，从图象中可知函数f(x)的零点有4个. 答案 4 10．若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：P、Q都在函数f(x)的图象上；P、Q关于原点对称，则称点对(P、Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P、Q)与点对(Q，P)看作同一个“友好点对”)．已知函数f(x)＝则f(x)的“友好点对”的个数是________． 解析　设P(x，y)、Q(－x，－y)(x0)为函数f(x)的“友好点对”，则y＝，－y＝2(－x)2＋4(－x)＋1＝2x2－4x＋1，＋2x2－4x＋1＝0，在同一坐标系中作函数y