高一数学：平面向量基本定理及坐标表示及向量积案例.ppt

【例1】?(1)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝________. [审题视点] (1)直接利用数量积的坐标运算即可； (2)由条件表示出a·b，然后找到关于k的等式进行求 解． 考向一　平面向量数量积的运算 解析　(1)依题意可得8a－b＝(6,3)， ∴(8a－b)·c＝3×6＋3×x＝30，解得x＝4. 【例2】?(1)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝________. [审题视点] (1)利用|a|2＝a·a求解； (2)找出平行四边形的面积与|a|·|b|的关系式． 考向二　向量的夹角与向量的模 (2)已知a与b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为________． 解析　(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61， ∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61. 又|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6. 【训练2】 (1)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，则|a＋b|＝________. (1)求证：a＋b与a－b互相垂直； (2)若ka＋b与a－kb的模相等，求β－α.(其中k为非零实数) [审题视点] (1)证明两向量互相垂直，转化为计算这两个向量的数量积问题，数量积为零即得证． (2)由模相等，列等式、化简． (1)证明　∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2 ＝(cos2α＋sin2α)－(cos2β＋sin2β)＝0， ∴a＋b与a－b互相垂直． 考向三　平面向量数量积的综合应用 【例3】?已知a＝(cos α，sin α)， b＝(cos β，sin β)(0αβπ)． (1)当向量a与b是坐标形式给出时，若证明a⊥b，则只需证明a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (2)当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明a·b＝0. (3)数量积的运算中，a·b＝0?a⊥b中，是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b. (1)证明：a⊥b； (2)若存在不同时为零的实数k和t，使c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，试求函数关系式k＝f(t)． 【命题研究】 通过近三年高考试题分析，平面向量数量积的应用是必考内容，主要考查利用数量积解决垂直、长度、夹角等问题，题型为选择题、填空题，难度中等偏下． 热点突破12——平面向量的数量积在平面几何中的应用 [教你审题] (1)抓住题眼“平行四边形ABCD”； (2)合理建立平面直角坐标系； (3)转化为二次函数求值域问题． [答案] [2,5] [反思] 在利用平面向量的数量积解决平面几何中的问题时，首先要想到是否能建立平面直角坐标系，利用坐标运算题目会容易的多． 答案　18  平面向量基本定理及坐标表示 平面向量的数量积 考点梳理 如果e1，e2是同一平面内的两个_______向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中不共线的向量e1，e2叫表示这一平面内所有向量的一组基底． (1)平面向量的正交分解 向量正交分解是把一个向量分解为两个_________的向量． 1．平面向量基本定理 2．平面向量的坐标表示 不共线 互相垂直 (x，y) a＝(x，y) (3)规定 ①相等的向量坐标_____，坐标_____的向量是相等的向量； ②向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系． 相等 相等 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (x1＋x2，y1＋y2) 3．平面向量运算的坐标表示 (x1－x2，y1－y2) (λx1，λy1) (x2－x1，y2－y1) 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b?_______________. 4．平面向量共线的坐标表示 x1y2－x2y1＝0 考点梳理 1．平面向量的数量积 ②当θ＝0°时，a与b_________． 当θ＝180°时，a与b_________． 当θ＝90°时，a与b__________． 共线同向 共线反向 互相垂直 (2)定义：已知两个向量a与b，它们的夹角为θ，则数量_____________叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝__________，由定义可知零向量与任一向量的数量积为