第八讲窄带随机过程.doc

第八讲 窄带随机过程 8.1 希尔伯特变换和解析过程 8.1.1 希尔伯特变换 希尔伯特变换的定义 设有实信号，它的希尔伯特变换记作或，并定义为 用代入上式，进行变量替换，可得到上式的等效形式为： 也可得 希尔伯特反变换为 经变量替换后得 希尔伯特变换的性质 1. 希尔伯特变换相当于一个的理想移相器。 从定义可以看出，希尔伯特变换是和的卷积，即 于是，可以将看成是将通过一个具有冲激响应为的线性滤波器的输出。由冲激响应可得系统的传输函数为 式中，为符号函数，其表达式为 可得滤波器的传输函数为 即 上式表明，希尔伯特变换相当于一个的理想移相器。 由上述分析可得，的傅立叶变换为 2. 的希尔伯特变换为，即。 3. 若，则的希尔伯特变换为 4. 与的能量及平均功率相等，即 此性质说明希尔伯特变换只改变信号的相位，不会改变信号的能量和功率。 5. 设具有有限带宽的信号的傅氏变换为，假定，则有 设与为低频信号，则 6. 平稳随机过程希尔伯特变换的统计自相关函数，和时间自相关函数，分别等于的自相关函数和时间自相关函数，即： ＝ ＝ 7． 8.1.2 解析信号 由实信号作为复信号的实部，的希尔伯特变换作为复信号的虚部，即 这样构成的复信号称为解析信号。 设频谱为，并已知的频谱为，则可得复信号的频谱为 8.1.3 复随机变量 若X和Y分别是实随机变量，则定义Z为复随机变量 Z=X+jY 复随机变量的数字特征： 数学期望 复数 方差 实数 互相关矩 若有两个复随机变量Z1=X1+jY1，Z2=X2+jY2，则它们的互相关矩为 互协方差 互相独立、互不相关、互相正交 两个复随机变量互相独立需满足 两个复随机变量互不相关需满足 两个复随机变量互相正交需满足 8.1.4 复随机过程 若X(t)和Y(t)为实随机过程，则Z(t)=X(t)+jY(t)为复随机过程。 复随机过程的数字特征： 数学期望 复时间函数 方差 实函数 自相关函数 自协方差函数 当时，有 由实随机过程广义平稳定义可直接类推出复随机过程广义平稳条件，若复随机过程Z(t)满足以下条件： 则称Z(t)为广义平稳复随机过程。 互相关和互协方差函数 若，则称Z1(t)和Z2(t)互不相关。 若，则称Z1(t)和Z2(t)互相正交。 若两个复随机过程各自平稳且联合平稳，则有 功率谱密度 平稳复随机过程的功率谱密度仍定义为自相关函数的傅立叶变换，即 两个联合平稳的复随机过程的互功率谱密度与互相关函数也是一个傅立叶变换对。 8.1.5 解析过程 定义：由实随机过程作为复随机过程的实部，的希尔伯特变换作为的虚部，即 这样构成的复随机过程为解析随机过程。其中 解析过程的性质： 1. 若为广义平稳过程，则也是广义平稳过程，且、联合平稳。 2. 3. 可得 4. 奇函数 5. 6. 7. 8. 8.2 窄带随机过程 窄带过程的定义：若一个随机过程的功率谱是集中在以为中心频率的有限带宽内，并满足，则称它为窄带随机过程。 8.2.1 窄带随机信号的表达式 一个典型的确定性窄带信号可表示为 其中，为幅度调制或包络调制信号，为相位调制信号，它们相对于载频而言都是慢变化的。 对于窄带随机信号，它的每一个样本函数都具有上式的形式，则所有的样本函数构成的窄带随机过程可以表示为 式中，是窄带过程的包络，是窄带过程的相位，它们都是随机过程，而且它们相对是慢变随机过程。 将式子展开，得 令，则有 这是窄带过程常用的表示形式。 可得 8.2.2 窄带随机过程的统计特性 假设是任意的宽平稳、数学期望为零的实窄带随机过程。已知窄带过程的包络和相位相对于都是慢变化过程，则很明显相对于为慢变部分。 已知，根据希尔伯特变换性质有，由上两式可得 可见，可以看作经过线性变换后的结果。 结论1：是均值为0的平稳过程，则也是均值为0的平稳过程。 结论2：的自相关函数相同，且与具有相同的平均功率，即它们的方差相同。 结论3：集中在，所以是低频过程，故 结论4：若窄带过程的单边功率谱是关于对称的，则有 结论5：是联合平稳的，且互相关函数为奇函数，。此外，在同一时刻，之间是正交的。 结论6：若窄带过程的单边功率谱是关于对称的，那么的互相关函数和互功率谱恒为0，两个低频过程正交，即 。 8.3 窄带高斯过程的包络和相位的分析 在本节的讨论中，假定窄带正态过程的均值为零，方差为，功率谱相对于中心频率是对称的。 8.3.1 窄带