YALE典型方程和定解条件的推导概述.ppt

数学物理方法 解 泛定方程的推导，设杆的横截面积为 S ，杨氏模量为 E，密度为 ρ。 补充资料 目标: 利用上述关系,分别解出 、 。 由 将 代入上式，得 对上式两边求旋度， 得 再将 代入上式，得 这是一个关于磁场强度的二阶微分方程 为进一步化简，利用 Hamilton 算子的运算性质 磁场强度、磁感应强度的散度为零。 如法炮制，可得关于电场强度的方程 如果介质不导电（σ=0）， 上述方程简化为： 三维波动方程 将 代入上式，得 目标: 建立关于电位 u 的方程 由电感应强度 与电场强度 的定义知： （电荷体密度） 而电场强度与电位之间的关系，由下式确定 由此可得： 依据Hamilton 算子的运算性质： 这个非齐次方程称为泊松（Poisson）方程 若静电场是无源的，即 ，上式又可写成 这个齐次方程称为拉普拉斯（Laplace）方程 上式可写成 物理模型: 均匀且各向同性的导热体, 在传热过程中所满足的微分方程. 研究对象: 热场中任一闭曲面 S ,体积为 V, 热场 V(体积) S(闭曲面) t 时刻, V 内任一点 M(x,y,z) 处 的温度为 u(x,y,z,t). ●M 曲面元 ds 的法向 (从V内 V外) ds 物理规律: 由热学的(Fourier)实验可知: dt 时间之内,流经面元 ds 的热量 dQ, 与——时间 dt 成正比； 曲面面积 ds 成正比； 温度 u 沿曲面法方向的方向 导数 成正比。 数学表述为： 四. 热传导方程的建立 ●M ds V(体积) S(闭曲面) 热场 数学表述为： ——k=k(x,y,z). 物体的传热系数,各向均匀且同性时为常数. “—”号,表示热量流动的方向,与温度梯度的正方向(grad u) 相反. 从 t1 t2 ,通过曲面元 S ,流入区域 V 的热量为 必然等于 V 内各点所吸收的热量(热量守恒) 上式中的 ，在热学中的意义？ 为何“—”号又不见了？ 数学处理：由于 S 为闭曲面，假设 u(x,y,z) 具有一阶连续偏导数, 那么 依据奥斯特罗—格拉德斯基公式 因此有： 由于[ t1 , t2 ] 以及区域 V 的任意性 , 且被积函数为连续, 因此有 若令: , 那么上述方程可写为 三维热传导方程 讨论: (1). 若 V 内有热源, 强度为 F(x,y,z,t) ,则热传导方程为 其中 (2). 若导热体为一根细杆 , 则 (3). 若导热体为一薄片 , 则 (4). 若热场为一稳恒场(温度趋于平衡状态) , 则 与之对应有 稳恒温度场内的温度满足Laplace方程. (5). 在研究气体、液体的扩散过程时 , 若扩散系数为常量，那么所导出的 扩散方程，形式上与热传导方程相同。 即 这里 ——扩散系数 ——浓度 一. 均匀弦的横振动方程 二. 传输线方程(电报方程) —— 一维波动方程 —— 高频传输线方程 三. 电磁场方程 —— 三维波动方程 四. 热传导方程 (场点 t 时刻的温度分布) —— 三维热传导方程 (振幅) (电流、电压) § 1.2 初始条件与边界条件 上一节谈到：物理规律 数学表述；我们还需要将 具体条件 数学表述出来。 所提出的具体条件，应该恰如其分地说明系统的初始状态，以及边界上的物理情况，不能提出过多的条件，也不能提出过少的条件。 从物理的角度来说，只要确定了系统的初始状态、边界上的物理情况，那末其后的发展，也必是确定的了；换言之，其相应的数学问题，应该有唯一的解。