【名师课堂】2015-2016学年高二人教A版数学选修2-1练习：3.2.3用向量方法求空间中的角 含答案.docVIP

第三课时　用向量方法求空间中的角 课时演练·促提升 A组 1.已知A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直线AB和直线CD所成角的余弦值为(　　) A. B.- C. D.- 解析:=(2,-2,-1),=(-2,-3,-3),而cos????=,故直线AB和CD所成角的余弦值为. 答案:A 2.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l与平面α所成的角等于(　　) A.120° B.60° C.30° D.以上均错 解析:l的方向向量与平面α的法向量的夹角为120°, 它们所在直线的夹角为60°. 则直线l与平面α所成的角为90°-60°=30°. 答案:C 3.若二面角α-l-β的大小为120°,那么平面α与平面β的法向量的夹角为(　　) A.120° B.60° C.120°或60° D.30°或150° 解析:二面角为120°时,其法向量的夹角可能是60°,也可能是120°. 答案:C 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则sin的值为(　　) A. B. C. D. 解析:如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),M, =(1,1,1),, ∴cos= =, ∴sin=. 答案:B 5.如图,过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA平面ABCD,若EA=1,则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是(　　) A.120° B.45° C.135° D.60° 解析:以A为原点,分别以AB,AD,AE所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则E(0,0,1),B(1,0,0),C(1,1,0), 则=(1,0,-1),=(1,1,-1). 设平面BCE的法向量为n=(x,y,z). 则有可取n=(1,0,1),又平面EAD的法向量为=(1,0, 0),所以cos??n,??=,故平面ADE与平面BCE所成的二面角为45°. 答案:B 6.在正四棱锥P-ABCD中,高为1,底面边长为2,E为BC的中点,则异面直线PE与DB所成的角为　　　　.? 解析:建立空间直角坐标系如图,则B(1,1,0),D(-1,-1,0),E(0,1,0),P(0,0,1), 故=(2,2,0),=(0,1,-1). 从而cos=, 即=. 于是PE与DB所成的角为. 答案: 7.若空间直线l的方向向量为t,平面α的法向量为n,t与n的夹角θ,则l与α所成角为　　　　　.? 解析:如图可知,l与α所成角为θ-. 答案:θ- 8.如图,已知ABC-A1B1C1是直三棱柱,ACB=90°,点D1,F1分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,求BD1与AF1所成角的余弦值. 解:如图,以C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 设CB=CA=CC1=1,则A(1,0,0),B(0,1,0),D1,F1, 则. 故||=,||=, 则cos=. 于是BD1与AF1所成角的余弦值为. 9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AA1,AB的中点,求EF和平面ACC1A1夹角的大小. 解:建立如图的空间直角坐标系,设正方体棱长为2, 则由E,F分别是AA1,AB的中点,得E(2,0,1),F(2,1,0).过F作FGAC于G,则由正方体性质知FG平面ACC1A1. 连接EG,则的夹角即为所求,又因为F是AB的中点,所以AG=AC,所以G=(0,1,-1). cos=. =,即EF与平面ACC1A1的夹角为. 10.在如图所示的几何体中,四边形ABCD是等腰梯形,ABCD,∠DAB=60°,FC⊥平面ABCD,AEBD,CB=CD=CF. (1)求证:BD平面AED; (2)求二面角F-BD-C的余弦值. (1)证明:四边形ABCD是等腰梯形,ABCD,∠DAB=60°,∴∠ADC=∠BCD=120°. 又CB=CD,∴∠CDB=30°. ∴∠ADB=90°,即ADBD. 又AE⊥BD,且AE∩AD=A,AE?平面AED,AD?平面AED,BD⊥平面AED. (2)解:由(1)知ADBD,∴AC⊥BC. 又FC平面ABCD,因此CA,CB,CF两两垂直. 以C为坐标原点,分别以CA,CB,CF所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 不妨设CB=1,则C(0,0,0),B(0,1,0),D,F(0,0,1),因此=(0,-1,1). 设平面BDF的一个法向量为m=(x,y,z), 则m·=0,m·=0, 即x-y=0,-y+z=0,所以x=y=z.