【名师课堂】2015-2016学年高二人教A版数学选修2-1练习：2.4.2抛物线的简单几何性质 含答案.docVIP

2.4.2　抛物线的简单几何性质 课时演练·促提升 A组 1.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=(　　) A.2 B.2 C.4 D.2 解析:由题意设抛物线方程为y2=2px(p0),则点M到焦点的距离为xM+=2+=3, p=2.∴抛物线方程为y2=4x. 点M(2,y0)在抛物线y2=4x上, =4×2.∴y0=±2. ∴|OM|==2. 答案:B 2.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是(　　) A. B.[-2,2] C.[-1,1] D.[-4,4] 解析:设直线方程为y=k(x+2),与抛物线方程联立,得 消去x,得到关于y的方程ky2-8y+16k=0. 当k=0时,上述方程有解,所以直线与抛物线有公共点; 当k≠0时,应有Δ≥0,即64-64k2≥0,解得-1≤k≤1且k≠0. 综上可知,l斜率的取值范围是[-1,1]. 答案: C 3.经过抛物线y2=2px(p0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则的值是(　　) A.4 B.-4 C.p2 D.-p2 解析:采用特例法,当直线与x轴垂直时,易得A,B,故=-4. 答案:B 4.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F且倾斜角等于的直线与抛物线在x轴上方的曲线交于点A,则|AF|的长为(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 解析:由已知得直线AF的方程为y=(x-1). 代入y2=4x,得3x2-10x+3=0, 解得x=3或x=. 当x=3时,y=2; 当x=时,y=-, 则A(3,2),故|AF|=3+1=4. 答案:B 5.过抛物线y2=2px的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,若A,B在准线上的射影为A1,B1,则A1FB1等于(　　) A.45° B.90° C.60° D.120° 解析:如图,由抛物线定义知 |AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|, 所以AA1F=∠AFA1. 又因为AA1F=∠A1FO, 所以AFA1=∠A1FO, 同理BFB1=∠B1FO, 所以AFA1+∠BFB1=∠A1FO+∠B1FO=∠A1FB1.故A1FB1=90°. 答案:B 6.AB是过抛物线x2=4y焦点的弦,且|AB|=10,则AB的中点的纵坐标为　　　　　.? 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=y1+y2+p=y1+y2+2=10,即y1+y2=8,故AB的中点的纵坐标为4. 答案:4 7.以抛物线y2=8x上的任意一点为圆心作圆与直线x+2=0相切,则这些圆必过一定点,则这一定点的坐标是　　　　　.? 解析:直线x+2=0即为抛物线的准线,依题意,圆心在抛物线上,圆心到准线的距离应等于它到定点的距离,该定点必为抛物线的焦点(2,0). 答案:(2,0) 8.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p0)上,求这个正三角形的边长. 解:如图,设正三角形OAB的顶点A,B在抛物线上,且坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2), 则=2px1,=2px2. OA=OB,∴, 即+2px1-2px2=0, 整理得(x1-x2)(x1+x2+2p)=0. x10,x20,2p0, ∴x1=x2.由此可得|y1|=|y2|,即线段AB关于x轴对称.由此得AOx=30°, ∴y1=x1.与=2px1联立,解得y1=2p, AB=2y1=4p. 9.已知抛物线的顶点在原点,x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为的直线l,被抛物线所截得的弦长为6,求抛物线的标准方程. 解:当抛物线焦点在x轴正半轴上时, 可设抛物线标准方程是y2=2px(p0), 则焦点F,直线l为y=x-. 设直线l与抛物线的交点A(x1,y1),B(x2,y2), 过A,B分别向抛物线的准线作垂线AA1,BB1,垂足分别为A1,B1, 则|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|==x1+x2+p=6, 故x1+x2=6-p. 由消去y,得=2px, 即x2-3px+=0,则x1+x2=3p. 代入式,得3p=6-p,解得p=. 故所求抛物线的标准方程是y2=3x. 当抛物线焦点在x轴负半轴上时,用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y2=-3x. B组 1.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F作直线交抛物线C于A,B两点,则AOB的最小面积是(　　) A. B.2 C.4 D.1 解析:设AB的倾斜角为θ,由弦长公式得|AB|=. 原点O到直线AB的距离d=sin θ, S△AOB=sin θ·. ∴当sin θ=1时, (SAOB)min=2,故选B. 答案: