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北京市高三二模理科数学分类汇编空间几何体.doc
十九、空间几何体(必修二、选修2-1)
1.(2012年西城二模理13)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为的两个全等的等腰直角三角形,
该几何体的体积是_____;若该几何体的所有顶点在同一球面
上,则球的表面积是_____.,
2.(2012年丰台二模理2)一个的2,其俯视图右图所示则该的为 B. C.2 D.4
3.(2012年昌平二模理5)已知空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的侧面图形中,是直角三角形C )
A. 0个 B. 1个
C. 2个 D. 3 个
若三棱柱的底面是正三角形正视图如图所示A )
A.
C. D.
5.(2012年海淀二模理7)某几何体的主视图与俯视图如图所示,左视图与主视图相同,且图中的四边形都是边长为2的正方形,两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是( A )
A. B.
C. D.
6.(2012年东城二模理6)已知和是两条不同的直线,和是两个不重合的平面,
那么下面给出的条件中一定能推出 的是( B )
A. B.∥,且
C.,且∥ D.,且∥
7.(2012年昌平二模理7)如图,在棱长为的正方体中,为的中点,为上任意一点,为上任意两点,且的长为定值,则下面的四个值中不为定值的是B )
A. 点到平面的距离
B. 直线与平面所成的角
C. 三棱锥的体积
D.二面角的大小
D )
A. B. C. D.
9.(2012年西城二模理16)如图,直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直.∥,,,.(Ⅰ);
(Ⅱ)与平面所成角的正弦值; ()上是否存在点,使// 平面?若存在,求出;若不存在,说明理由.
证明:(Ⅰ)取中点,连结,.
因为,所以. ………………1分
因为四边形为直角梯形,,,
所以四边形为正方形,所以. ……………2分
所以平面. ………………3分
所以 . ………………4分
解:(Ⅱ)因为平面平面,且 ,
所以平面,所以.
由两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系. …………5分
因为三角形为等腰直角三角形,所以,设,所以.
所以 ,平面的一个法向量为. ………………7分
设直线与平面所成的角为,
所以 ,
即直线与平面所成角的正弦值为. ………………9分
解:(Ⅲ)存在点,且时,有// 平面. ………………10分
证明如下:由 ,,所以.
设平面的法向量为,则有
所以 取,得. ………………12分
因为 ,且平面,所以 // 平面.
即点满足时,有// 平面. ………………14分
10.(2012年朝阳二模理17)在如图所示的几何体中,四边形为正方形,平面,,.(Ⅰ)若点在线段上,且满足,
求证:平面;平面;(Ⅲ)求二面角的余弦值.
证明:(Ⅰ)过作于,连结,
则,又,所以.
又且,
所以,且,
所以四边形为平行四边形,
所以.
又平面,平面,
所以平面……4分
(Ⅱ)因为平面,,故
以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.由已知可得
.
显然.
则,
所以.
即,故平面.
(Ⅲ),所以与确定平面,
由已知得,,. ……9分
平面,所以.
由已知可得且,
所以平面,故是平面的一个法向量.
设平面的一个法向量是.
由得 即
令,则.
所以.
由题意知二面角锐角,
故二面角的余弦值为. …14分
11.(2012年丰台二模理17)在如图所示的几何体中,四边形ABCD为矩形,平面ABEF⊥平面ABCD, EF // AB,∠BAF=90o,AD= 2,AB=AF=2EF =1,点P在棱DF上.(Ⅰ)若P是DF的中点, (ⅰ) 求证:BF // 平面ACP;(ⅱ) 求异面直线BE与CP所成角的余弦值; (Ⅱ)若二面角D-AP-C的余弦值为,求PF的长度.
证明:(Ⅰ)(ⅰ)连接BD,交AC于点O,连接OP.
因为P是DF中点,O为矩形ABCD 对角线的交点,
所以OP为三角形BDF中位线,
所以BF // OP,
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