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山东工商学院第十三届大学生数学竞赛(决赛)试题 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 总 分 题分 24 24 8 9 10 11 12 10 10 11 10 11 150 得分 （本套题共150分，时间为180分钟） 注：看清第八题、第十题、第十二题要求，同一题号只做一题。 一、填空题：（本题24分，每空4分。请将最终结果填在相应的横杠上） 1.由方程所确定，则。 2．=____。 3. 设函数是微分方程满足初始条件的特解，则_____。 4.设均为阶矩阵，分别为的伴随矩阵，且,则分块矩阵的伴随矩阵为。 5.某射手的命中率为，该射手连续射击次才命中次的概率为。 6.已知随机变量服从参数为的指数分布，则概率__。 二、选择题：（本题24分，每小题4分。每小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分，选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。） 1. 已知连续可导，，但.，当时，与是同阶无穷小,则（ C ） (A) 1； (B) 2； (C) 3； (D) 4。 ２.数值级数条件收敛，则幂级数（ D ） (A)　在处必收敛；　 (B)　在处必发散； (C)　在处可能收敛也可能发散；　(D)　在处必绝对收敛。 3. 设二元函数在点的某个邻域内连续，且，则（ B ） (A) 在点处取得极大值； (B) 在点处取得极小值； (C) 在点处不取得极值，但可微分； (D) 在点处不取得极值，也不一定可微分。 4.设是矩阵，它的列向量组为，则（ D ） （A）如果非齐次线性方程组有唯一解，则，且； （B）如果线性相关，则非齐次线性方程组有无穷多解； （C）总存在维向量，使得线性方程组无解； （D）如果线性方程组有唯一解，则。 5.设矩阵的特征值为，已知有个线性无关的特征向量，则参数等于（ B ） （A）； （B）； （C）； （D）。 6、已知连续型随机变量的分布函数为，的分布律为 8 0.2 0.5 0.3 且,相互独立，则随机变量的分布函数（ A ） (A)是连续函数； (B) 是阶梯函数； (C) 恰有一个间断点； (D) 恰有两个间断点。 三、（本题8分）在连续在可导且则必存在，使得 。 证明　令 则易证满足Rolle定理的条件．（以下略） 四、（本题9分）在处连续，且，，（是正整数）。 (1) (本问4分)求证：除有限项以外，都有； (2)(本问5分) 讨论级数的收敛性。 证明: 因为，由极限的局部保号性，存在，使得时，有，既．．．．．．．．．．．２分 于是当时，必有，而至多有有限个正整数不满足，所以除有限项以外，都有．．．．．．．．．．．．．．２分 根据前面的证明，级数可以看做正项级数．由于 ．．．．．．．．．．２分 所以，，由比较判别法知道级数收敛．．．．３分 五、（本题10分）设，求。 解: 方法一 ， 其中，轴，轴和直线所围成的区域 3分 3分 4分 方法二 3分 因为． ， 3分 所以 4分 六、（本题11分）设在上是单调递减的连续函数，试证明对于任何都有不等式 。 证明：（方法一） 设，为自变量． 因为在上连续，所以在上也连续。 1分 又因为 ３分 由单调递减和的连续性，有 当时，；当时， 。 5分 所以在上，，即 2分 （方法二） 显然时，不等式成立； 2分 当时， ４分 5分 事实上，由于，由函 七、（本题12分）在钓鱼岛海域，我方渔政船在点处发现日方巡逻艇在点处且正沿着轴正方向行进，我方渔政船立刻驶向日方巡逻艇，在行驶过程中