自动控制第四章 线性系统的根轨迹分析.ppt

§4—4 滞后系统的根轨迹 在自动控制系统中有时会出现纯时间滞后现象 滞后环节的存在使系统的根轨迹具有一定的特殊性，对系统的稳定性会带来不利的影响。 系统闭环传递函数 特征方程 这是一个超越方程，闭环系统的特征根不再是有限个，而是无限多个，这是滞后系统的重要特征。 滞后系统根轨迹幅值相位条件 幅值条件 相角条件 绘制滞后系统根轨迹的基本规则 （3）、实轴上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧(实轴上)开 环实零、极点数目之和相应为奇数。 （4）、根轨迹的渐近线： （1）、滞后系统的根轨迹是连续的并对称于实轴 （2）、根轨迹的起点和终点 起点 终点 根轨迹渐近线有无数条，且平行于实轴 根轨迹渐近线仅与虚轴相交，交点为 根据规则5? 根轨迹有四条渐近线 根据规则6?求根轨迹的分离点 p3、p4的连接线上 七、根轨迹的起始角和终止角 起始角?p :从开环复数极点出发的一支根轨迹，在该极点处根轨迹的切线与实轴之间的夹角。 根轨迹起始角的一般计算式(0～360° ) k＝0，1，… 证明 终止角?z:进入开环复数零点处根轨迹的切线与实轴之间的夹角。 根轨迹终止角一般计算式(0～360° ) 例 根轨迹上，靠近起点p1处取一点s1 相角方程 s1?p1 ?起始角?p 四条分支 起始点p1＝0、 p2、3＝―0.5+j1.5 、 p4＝―2.5 终止点z1＝－1.5、z2，3 ＝－2±j、－∞ 实轴上0～－1.5和－2.5～－∞两区段是根轨迹 取k＝0 p3和p2为共轭复数， 根轨迹起始角对称。 或 取k＝1 z2和z3为共轭复数， 根轨迹终止角对称。 八、根轨迹与虚轴的交点 根轨迹与虚轴相交?闭环特征方程有纯虚根、系统处于稳定边界。 1）应用劳斯判据求出系统处于稳定边界的临界值K’， 由K’值求出相应的ω值 例 2）代数法 代入特征方程 联立求解， ?根轨迹与虚轴的交点ω值和相应的 临界K’值。 例 系统的开环传递函数 求根轨迹与虚轴的交点 。 闭环特征方程 系统稳定的临界K’值： K’=6 阵列中s2行元素构成辅助方程 根轨迹与虚轴的交点 系统的开环传递函数 求根轨迹与虚轴的交点。 代入系统闭环特征方程 九、闭环特征方程根之和与根之积 系统闭环特征多项式 zi 开环零点 si闭环极点 pi开环极点 闭环特征方程的根（即闭环极点）与特征方程 的系数关系： 1）(n-m)?2时，根之和与根轨迹增益K’无关，是个常数， 且有 2）根之和不变?K’增大，一些根轨迹分支向左移动，则 一定会相应有另外一些根轨迹分支向右移动。 根轨迹增益K’=3K。 根轨迹对称于实轴，有四条根轨迹分支分别起始于开环极点0，－3，－1±j，终止于零点－2和另外三个无限远零点。 实轴上区段0～－2和－3～－∞为根轨迹。 根轨迹有三条渐近线（n－m＝3），与实轴的倾角为 取k＝0、1?＋60°、－60°、＋180° 渐近线与实轴交点坐标为 系统特征方程 ?根轨迹与虚轴的交点 两条根轨迹分支起始于共轭 复数极点－1±j 各闭环极点之和为－5 ?当实轴上根轨迹分支向左趋 向于无限零点时，两个从复数极 点出发的根轨迹分支趋向于右边 无限零点。 K＝2.34时 根轨迹与虚轴两个交点 闭环极点之和为－5 闭环交点之积为2K’=-14.04 三、闭环极点的确定 例 : 设反馈控制系统的开环传递函数为 若要求闭环系统的阻尼比ξ=0.5,求系统闭环极点。 解： （1）根据根轨迹画法基本规则画出根轨迹图； （2）在根轨迹图上画出阻尼比线； （3）求出根轨迹与阻尼比线的交点得到闭环主导极点的位置； （4）根据幅值条件，求出对应的开环增益； （5）利用闭环特征方程的根之和和根之积确定其它闭环极点。 阻尼比线 闭环主导极点 闭环主导极点为 根据幅值条件开环增益为 特征方程 §4—3 广义根轨迹 一、参数根轨迹 二、多回路根轨迹 三、正反馈和零度根轨迹 一、参数根轨迹 以系统中任意一个参数（开环零点、开环极点、时间常数、反馈比例系数等） 绘制的根轨迹。 研究参数根轨迹的目的 分析参数变化对系统性能的影响 绘制参数根轨迹图基本原理 常规根轨迹方程： 参数根轨迹方程： 等效开环传递函数 以α为可变参数绘制的根轨迹即为参数根轨迹 例： 系统的开环传递函数为 绘制以α为参数的参数根轨迹，并讨论α值对系统稳定性的影响。 解： （1）以α为参量的等效开环传递函数 系统特征方程 等效开环传递函数 开环极点 实轴上的根轨迹 渐近线 根轨迹与虚轴的交点: 特征方程 交点为 出射角: 劳斯表 对于-