北京交通大学概率论期末试卷.docVIP

北 交 通 大 学 200-2007学年第学期考试试卷_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________ 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 总分 得分 阅卷人 一(满分6分) 设A,B为两个事件，且试求。 解：由 ---2分 二(满分8分)某工厂有甲，乙，丙三个车间，它们生产同一种产品，其产量之比为 。已知它们生产的产品中正品率分别为0.95，0.96和0.98。求从全厂三个车间产品中任取一件是次品的概率。 解：设A={从全厂产品中任取一件是次品} ={所取产品是甲车间生产的} ={所取产品是乙车间生产的} ={所取产品是丙车间生产的} 由题设有---3分 且---3分 由全概率公式 ---2分 三(满分8分)已知（X,Y）的分布律为 X Y -1 1 2 -1 5/20 2/20 6/20 2 3/20 3/20 1/20 求：（1）E(X),D(X);（2）E(max（X，Y）),D((max（X，Y）)); 解： 分布律 X -1 1 P 13/20 7/20 Max（X，Y） -1 1 2 P 5/20 2/20 13/20 四(满分8分) 设随机变量X的概率密度函数,求随机变量的概率密度。 五(满分8分) 设二维随机变量的联合密度函数为 ⑴. 求随机变量X, Y的边缘密度函数；随机变量X, Y是否相互独立？ ⑵. 求； 解：⑴的边缘概率密度为 的边缘概率密度为 易见，所以X, Y不独立。 ⑵当时， 当时， 六(满分8分) 某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的产量。他们估计出售一件产品可获利500元，而积压一件产品导致2000元的损失。再者，他们预测销售量Y（件）服从指数分布，其概率密度为 问若要获得利润的数学期望最大，应生产多少件产品？ 解：设生产件，则获利 知当时取得最大值。 答：应生产2231件。 七(满分8分)若A,B是随机试验的两个事件，且，又随机变量为 证明：随机变量不相关，则A与B相互独立。 证明：只须证 八(满分8分) 一学校有100名住校生，每人都以80%的概率去图书馆自习，试问图书馆至少应设多少个座位，才能以99%的概率保证去上自习的学生都有座位？ （用中心极限定理，已知，其中是正态分布的分布函数) 解：设需设n个座位，令X={100名住校生中去图书馆自习的人数}，则X~B（100，0.8） -----2分 由中心极限定理 -----2分 至少应设90个座位。 九(满分6分) 设总体, 从中随机抽取一容量为100的样本。问样本均值与总体均值的差的绝对值大于3的概率是多少？ (已知，, 其中是正态分布的分布函数) 解：因为正态分布的线性组合仍为正态分布，故为正态分布 十 (满分12分) 假设随机变量（X,Y）服从矩形区域上的均匀分布，又设随机变量 试求：（1）U和V的联合分布律； （2）协方差cov(U,V). 解： 随机变量有四种可能取值： ------4分 所求联合分布律 U V 0 1 P {U=i } 0 1/4 0 1/4 1 1/4 1/2 3/4 P {V= j } 1/2 1/2 1 -------2分 (2) ------2分 UV 0 1 p 1/2 1/2 ------1分 -------1分 十一(满分10分) 设总体X的概率分布为 X 0 1 2 3 P ，利用总体的如下样本值， 3，1，3，0，3，1，2，3 求的矩估计值和极大似然估计值。 解：矩估计法： 令，解得矩估计值 极大似然估计法：似然函数为 两边取对数 得方程解得 于是极大似然估计值为 十二(满分10分) 设随机变量的联合概率密度为 求的概率密度函数. 求 解： 第 7 页 共 10 页