两无限大介质平面的镜像.doc

两无限大介质平面的像电荷 杨河林 （华中师范大学物理系 武汉 430079） 摘要： 讨论了两无限大介质平面的像电荷不同求法，分析了像电荷与所假设空间介质电容率有关。 在求静电场问题中，最容易掌握的方法是镜像法。它的理论基础是唯一性定理和叠加原理。对于在一些特殊边界下有限个点电荷所激发电场的一类问题，求解电位的方法是用假想的一个或几个像电荷代替分界面（导体面或介质面）上复杂的电荷（感应或极化）分布对电位的贡献，之后就不再考虑边界的作用。这样不再直接求解泊松方程，只需求解像电荷和边界内给定电荷共同激发的电位，从而使求解简化。按照唯一性定理，在所求电位区域内所得到的解只要满足泊松方程和边界条件，这个解就是唯一正确的解。这样对像电荷的要求有两点一是像电荷不能在所求电位的区域内，二是包括像电荷在内的空间所有电荷产生的电位要满足边界条件。至于像电荷的位置和大小在有些问题中并不是唯一的。以下就以两无限大介质平面为例讨论不同像电荷的求法。 如图所示，空间充满两种电容率分别为和的介质，分界面为以无限大平面，在距界面为a处置一点电荷q，求空间电位的分布。 设介质、中电位分别为和，所满足的定解问题为： （1） 像电荷求法1. 考虑介质的微观本质，把空间电位看作是给定电荷、极化电荷和介质界面上极化电荷产生的，而极化电荷对电位的贡献可用像电荷来等效。这相当于把空间看作是充满了的电容率为介质。在求时像电荷在介质中距界面为b；在求时像电荷在介质中距界面也为b。电位的分布为： （2） 式中：，，。 由边界条件得： （3） 要使任意的x,y上式均成立，则必有： b=a, （4） （5） 同时，如设n为从指向的单位法矢，、分别为介质中的极化强度，可求得界面上的极化电荷分布及总电量为 （6） （7） 讨论：（1），则 =0，电位。 （2）（导体）则 =-q，电位， 像电荷求法2. 依据无限大介质中点电荷产生的电位是，在求时把空间看作是充满了的电容率为介质，像电荷在下半空间中距界面为a；在求时把空间看作是充满了的电容率为介质，像电荷在上半空间中距界面为a。电位的分布为： （8） 式中：，。 由边界条件得： （9） （10） 把（10）代入（8）所求电位分布与像电荷求法1求得的结果一样。同理可求得界面上的极化电荷总电量为 。 讨论：（1），则 ，电位。 （2）（导体）则 =-q，电位， 像电荷求法3. 与前两种方法相似，在求时把上半空间看作是充满了的电容率为介质，下半空间看作是充满了的电容率为介质，此时的分界面对电位的计算无任何作用，像电荷在下半空间中距界面为a；在求时把空间看作是充满了的电容率为介质，像电荷在上半空间中距界面为a，电位的分布为： （11） 式中：，。由边界条件得： 同理可求得界面上的极化电荷总电量为 。 讨论：（1），则 ，电位。 （2）（导体）则 ，，电位，. 结论 以上, 我们只列举了三种像电荷求法,其实作为求法3的推广，在求时把上半空间看作是充满了电容率为介质，下半空间看作是充满了任意电容率的介质都是可以的，像电荷在下半空间中距界面为a；在求时把空间看作是充满了的电容率为（或是）介质，像电荷在上半空间中距界面为a。同理得： ，， 式中：，。 界面上的极化电荷总电量为 。 讨论：（1），则 ，电位 （2）（导体）则 ，，电位，。 综上所述，对于两无限大介质平面，在求像电荷所产生的电位时，由于界面的作用已不考虑，空间电容率的分布可以任意假设，像电荷就有不同的取值，像电