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人口增长的预测 关键字：人口数 平衡点 方程 模型 运动 预测 曲线 稳定 增长 人口 一 题目： 请在人口增长的简单模型的基础上。 （1）找到现有的描述人口增长，与控制人口增长的模型； （2）深入分析现有的数学模型，并通过计算机进行仿真验证； （3）选择一个你们认为较好的数学模型，并应用该模型对未来20年的某一地区或国家的人口作出有关预测； （4）就人口增长模型给报刊写一篇文章，对控制人口的策略进行论述。 二 摘要： 本次建模是依照已知普查数据，利用Logistic模型，对中国人口的增长进行预测。首先假设人口增长符合Logistic模型，即引入常数 ，用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数。并假设净增长率为 ，即净增长率随着人口数N（t）增长而减小，当N(t) 时，净增长率趋于零。按照这个假设 ， 。用参数 ＝3.0,r=0.0386, =1908, =14.5。画出N=N(t)的图像，作为人口增长模型的一种近似。 做微分方程解的定性分析，求出N=N(t)的驻点和拐点，按照函数作图方法列出定性分析表，作出相轨迹的运动图。当初始人口 时，方程的解单调递增到地趋向 ，这意味着如果使用Logistic模型描述人口增长，则人口发展地总趋势是渐增到最大人口数，因此 可作为人口的预测值， 也称谓平衡点。 用导数做稳定分析，为判断平衡点是否为稳定，可在 平面上绘制f(x)的图象，然后像函数绘图那样，用导数进行定性分析，通过图看出人口数N(t)按时间是递增的，当人口数未达到饱和状态 的时候，将逐渐地趋向 ，这意味着 是稳定的平衡点。按该模型，未来人口的数量将随着时间的演化，从初始状态出发达到极限状态 ，这样就给出了人口的未来预测。 三 问题的提出 1．Malthus模型 英国统计学家Malthus（1766－1834）发现人口增长率是一个常数。设t时刻人口为N（t），因为人口总数很大，可近似把N（t）当作连续变量处理。Malthus的假设是：在人口的自然增长过程中，净相对增长率（出生率减去死亡率）是常数，即单位时间内人口的增长量与人口总数成正比。根据这个假设有： , (1.1) 这是一个最简单的可分离变量方程，用符号微分方程求解器desolve容易求得方程的解为： 如果人口的增长符合Malthus的模型，则意味着人口数量呈指数级数增长，最终结果是人口爆炸。 2．Logistic模型 1938年，荷兰生物数学家Verhulst引入常数 ，用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数。并假设净增长率为 ，即净增长率随着人口数N（t）增长而减小，当N(t) 时，净增长率趋于零。按照这个假设（1.1）式可改为： ， （2.1） 上述方程为可分离变量方程，可直接求解。也可用符号微分方程解题器求它的解： N=dsolve（’DN=r*(1-N/Nm)*N’,’N(t0)=N0’） N=Nm/(1+exp(-r*t)*exp(t0*r)*(Nm-N0)/N0) 化简后得： 四 利用数学模型对中国人口的预测 1给出对于中国人口的预测 表1 中国人口数据 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口（亿） 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0 表1给出了1908年到2000年中国人口数据，参数 ＝3.0,r=0.0386, =1908, =14.5。画出N=N(t)的图像。（绿色点是普查数据，蓝色是预测曲线，红色为渐近线，画图程序见附录） 图1 由于N（t）描述了一个人口增长得数学模型，所以对函数N（t）的了解实际上也是人口增长规律的了解，而不是仅仅处理一个高等数学综合习题。实际上，人口问题的研究是很复杂的，Logistic模型只是一种近似。 2微分方程解的定性分析 （1） 求N＝N（t）的驻点和拐点。 驻点：驻点应满足条件 这样立刻得到N=0和N= ，但是无法得到确切的时间值t，除非解被求出，而且相应的t可能会取无穷大。 拐点：拐点满足 直接对方程（2.1）右边求导得 其拐点的纵坐标为N= /2，同样的相应的时间t尚不能直接解出，上面的运算可由符号演算完成： syms t dN2_dt2=diff(r*(1-N(t)/Nm)*N(t),t),dN2_dt2=factor(dN2_dt2) dN2_dt2 = -r*diff(N(t),t)/Nm*N(t)+r*(1-N(t)/Nm)*diff(N(t),t) dN2_dt2 = r*diff(N(t),t)*(-2*N(t)+Nm)/Nm (2)按照函数作图的方法列出定性分析表： 表2 t （0,?） ？ (?,?) ? (?,+ ) N ( , /2) /2 ( /2, ) ( ,+ ) dN/dt 0