当心“角”下的陷阱——例谈应用向量数量积公式应注意的几个问题.pdfVIP

实 戡 实 例 j !一 ■ ■一 ● 丫_ ， —唧 ■，玎 酬『阿 粼 忍 (|I文／陈 荣 长沙北雅 中 向量的数量积公式是平面向量中重要的知识点之一，也是解答许多数学问题 的重要工具，而掌握好 “两向量的夹角”的概念又是正确应用平面向量的数量积公 式的前提，事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，常常会出 现因模糊 “两向量的夹角的概念”和忽视 “两向量夹角”的范围而导致问题的解答出 错 ，现举例剖析如下： 认清两向量的夹角是其方向的夹角．．一 皿 在RtAABC中， z8,4c：90。，AC：1，则 ．-cg~ ( ) A．1 B．一1 C．±1 D．无法确定 错解 因为AC=1，所以由直角三角形的边角关系得：i fCOSLACB= I I，再由向量的数量积得： ．-c-g：I f．1蔬I。LACB：I l：1，选答 案 A． 错因剖析：表面上看本题的解答无懈可击，其实在解答的过程中误把RtAABC 的内角L．ACB当成了两向量 e与 的夹角从而出现了错解 ，病因是两向量的夹角 的概念模糊． 正确解法：因为AC：】，所以由直角三角形中的边角关系得 — — — — _+ IC雪I~OSLACB：iACI． 而两向量 e与C西的夹角应为RtAABC的内角 ／ACB的补角， 即0=180。一LACB，故由向量的数量积公式得 ： ． 压 ：J J．I Jc0sf180。一Z．ACB) ： 一 I I．}CBIc0sLACB ： 一IACI =一1． 应选答案B． l羹实战实例 圈 本题的陷阱有两个，其一是条件似乎缺少，容易错选D；其二是易 将三角形的内角错看成两向量的夹角错选A．类似题还有2004年浙江卷 14： 已知平面上三点A，B，C满足lA雪I=3，1日eI=4，IAeI=5， 则 ．赢 +赢 ．CA+CA． ，容易错解答案为一25．． 囫暇 (2006年湖南改编)已知laI=2l西l≠0且关于 的方程 +laj+ a·西：0有实根，则向量a与西夹角的范围是 ． 错解 因为关于 的方程 +laI+a·b=0有实根， 所 以△=}aI一4a ·I0，即4IaIfbICOS ≤laI， 注意到laI=2Ibl≠o，所以cos≤÷，故01孚，应填答案[-7盯-，)． 二 J J 错因剖析：表面上看此题的解答天衣无缝，其实在解答的过程中忽视两向量夹 角的范围为[0，盯]，从而出现了漏解，即忽视了两向量反向的特殊情形． 正确解法：因为关于 的方程 +IaI+a ·b=0有实根，所以△=Ia}一 1 4a·西／0，即4I口II西lcos0≤IaI，注意到InI：2I6l≠0，所以cos0≤÷，则 二 01孚J，又0≤≤1T，故}J≤≤竹，应填答案[孚j，]．