空间曲线主法线曲面几何性质.docVIP

空间曲线的主法线曲面的几何性质 目 录 第一章 绪论 1 第二章 空间曲线的主法线曲面的曲率 1 2.1 第一基本形式 1 2.2 第二基本形式 2 2.3 法曲率 2 2.4 主曲率 2 2.5 高斯曲率 3 2.6 平均曲率 3 第三章 空间曲线的主法线曲面上的特殊曲线族 3 3.1 渐近线 3 3.1.1 空间曲线的主法线曲面的渐近线方程 3 3.1.2 空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件 4 3.2 曲率线 5 3.2.1空间曲线的主法线曲面的曲率线方程 5 3.2．2空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件 5 3.3 测地线 6 3.3.1空间曲线的主法线曲面的测地线方程 6 3.3.2空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是半测地网的充要条件 7 3.3.3空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是测地网的充要条件 7 第四章 主法线曲面是常曲率或极小曲面的充要条件 8 4.1 空间曲线的主法线曲面是常曲率曲面的充要条件 8 4.2 空间曲线的主法线曲面是极小曲面的充要条件 8 第五章 特殊曲线的主法线曲面的性质 9 5.1 曲率和挠率均为常数的特殊曲线的主法线曲面的几何性质 9 5.2正螺面的几何性质 10 致 谢： 11 参考文献： 12 附录： 13 第一章 绪论 本文主要是对空间曲线的主法线曲面的几何性质进行系统化、全面化、深入化的研究。通过类比一般空间曲线、曲面的研究方法，将向量、微积分的思想融入到空间曲线的主法线曲面几何性质的研究中，从而更全面的分析和了解空间曲线的主法线曲面的几何性质。因此，对于主法线曲面的几何性质的研究首先就是要了解其度量性质如：曲面上曲线的长度、面积等等这些内蕴性质。了解了曲面的内蕴性质就是要研究其几何性质包括曲面的弯曲程度。所以我们首先给出它们的第一基本形式和第二基本形式，进而给出它们的法曲率、主曲率、Gauss曲率、平均曲率等渐近线、曲率线、测地线给出参数网是渐近线网、曲率线网、测地线网的充要条件，为曲线上任意一点的主法向量，则曲线的主法曲面为。根据空间曲线的伏雷内（）公式，即 ，则有 ，， 则曲面的第一基本量，，。 因此，空间曲线的主法线曲面的第一基本形式是： Ⅰ=。 2.2 第二基本形式 正如在研究空间曲线的时候我们不仅仅研究了弧长，还研究了曲线的曲率与挠率。对于曲面我们也不仅仅要研究该曲面的内蕴性质，即曲面的第一基本形式所确定的几何性质还应该研究刻画曲面离开切平面的弯曲程度的量。因此，我们引入第二基本形式来表示空间曲线的主法线曲面的弯曲性。 曲面的单位法向量， ，， 则有第二基本量分别为： ，， 因此，空间曲线的主法线曲面的第二基本形式是： Ⅱ= 。 2.3 法曲率 由第二基本形式可以知道曲面在已知点处的弯曲性仍与方向相关，即沿着不同的方向曲面以不同的速度离开切平面。所以，我们用法曲率刻画曲面上一点在方向上的弯曲性，则空间曲线的主法线曲面的法曲率为： 2.4 主曲率 曲面上已知点（非脐点）的法曲率是一个随着方向不断变化的变量，在这些变化的值中存在的最大值和最小值，即曲面在已知点的主曲率、。 根据主曲率的计算公式。即有空间曲线的主法线曲面的主曲率计算公式为： 解之得： ， 2.5 高斯曲率 、是空间曲线的主法线曲面上的主法曲率，则高斯曲率是 ， 它描述了空间曲线的主法线曲面在一点处的总的弯曲程度。当曲面的高斯曲率是常数时，我们就称此曲面是常曲率曲面。 不难发现，曲面上任意一点都有，则空间曲线的主法线曲面上的点不可能是椭圆点。同时，我们也可以知道空间曲线的主法线曲面是一类直纹面时，有挠率，即空间曲线为平面曲线时，空间曲线的主法线曲面是可展曲面。 2.6 平均曲率 、是空间曲线的主法线曲面上的主法曲率，则平均曲率是： 。 它描述了空间曲线的主法线曲面在一点处的平均的弯曲程度。 第三章 空间曲线的主法线曲面上的特殊曲线族 3.1 渐近线 3.1.1 空间曲线的主法线曲面的渐近线方程 空间曲面上渐近曲线的微分方程是。由空间曲线的主法线曲面的第二基本量可知，此类空间曲面上的渐近曲线的微分方程是 ， 即 所得渐近线的微分方程为以及 （3.1）。 整理（3.1）可得：。 令，则有，可以发现上式是一次线性非齐次方程。因此，根据常微分方程的常数变易法可得到（3.1）的通解为： 。 综上所述，空间曲面上的渐近曲线的方程为（其中为常数）， 。 特别地，空间曲线在它的主法线曲面上是渐进曲线。因为空间曲线的主法线曲面的法向量是，而曲线的主法向量是，故与的夹角是，则曲线上任意一点处沿切方向的法曲率，即空间曲线在它的主法线曲面上是渐进曲线。 3.1.2 空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件 由3.1.