分块矩阵的初等变换及其应用文献综述.doc

文献综述 分块矩阵的初等变换及其应用 前言部分 在数学的矩阵理论中，一个分块矩阵或是分段矩阵就是将矩阵分割出较小的矩形矩阵，这些较小的矩阵就称为区块。换个方式来说，就是以较小的矩阵组合成一个矩阵。分块矩阵的分割原则是以水平线和垂直线进行划分。分块矩阵中，位在同一行（列）的每一个子矩阵，都拥有相同的列数（行数）。 通过将大的矩阵通过分块的方式划分，并将每个分块看做另一个矩阵的元素，这样之后再参与运算，通常可以让计算变得清晰甚至得以大幅简化。例如，有的大矩阵可以通过分块变为对角矩阵或者是三角矩阵等特殊形式的矩阵。 矩阵的分块是处理较高阶矩阵时常用的方法，用一些贯穿于矩阵的纵线和横线将矩阵分成若干子块，使得阶数较高的矩阵化为阶数较低的分块矩阵。在运算中，我们有时把这些子块当作元素一样来处理，从而简化了表示，便于计算。分块矩阵初等变换是线性代数中重要而基本的运算，它在研究矩阵行列式、特征值、秩等各种性质及求矩阵的逆、解线性代数方程中有着广泛的应用。因此，如何直接对分块矩阵实行初等变换显得非常重要，本综述的目的就是讨论分块矩阵的初等变换及其应用[1]。 二、主题部分 2.1 分块矩阵及其初等变换 2.1.1 分块矩阵的定义： 将一个分块矩阵A用若干条纵线和横线分成许多块的低阶矩阵，每一块低阶矩阵称为A的子块。以子块为元素的矩阵A称为分块矩阵。 我们将单位矩阵E分块： ，其中Er是ri阶单位矩阵(1is) 称E为分块单位矩阵[2]。 2.1.2 分块矩阵与广义初等变换[3] 分块矩阵可以解释为矩阵中的矩阵,而对这个矩阵进行初等变换, 相应的初等矩阵也要变为可计算的分块矩阵,所进行的变换陈维广义初等变换.其目的在于简化计算和证明.Aij为 阶矩阵,其中m1+m2+m3+…+mr=M 注释：定义规定分块矩阵为与同行的矩阵有相同的行数,位于同列的元素有相同的列数.它们的行数之和构成分块矩阵的行数, 列数之和构成分块矩阵的列数. 分块矩阵的运算满足矩阵的运算定义,由于它的特殊性,故此给出各自的定义.设 为两个分块矩阵,则定义它们的加法为 A+B=(Aij + Bij)条件：为同阶矩阵而且也为同阶矩阵.设 A=(Aij)rxt, B=(Bij)txs为两个分块矩阵,则定义它们的乘法为A X B=(Cij)其中的列数等于的行数而且Aij x Bij也存在. 同样地,广义初等变换与广义初等矩阵可简单叙述如下： 定义 2 ?广义初等变换是对分块矩阵进行以下的变换的统称. 交换矩阵的两行(列)； 将某行(列)左(右)乘可逆矩阵； 将某行(列)左(右)乘矩阵加到另一行(列)上； 定义 3 ?设EXn为分块的单位矩阵,对其进行一次广义初等变换所得到的矩阵称为广义初等矩阵. 例子 1 ? 广义初等矩阵具体形式 广义初等矩阵(变换)的作用如同一般的初等矩阵(变换),遵守左行右列原则. 例子 2 ? 设 那么 经过一次分块矩阵的初等行（列）变换得到的 矩阵称为分块初等矩阵。例如： , , 是三种不同类型的分块初等矩阵（其中Q是可逆矩阵）通过直接计算可以验证：用分块初等矩阵左乘（右乘）一个分块矩阵，就相当于对这个分块矩阵作了一次相应的分块矩阵的初等行（列）变换。 分块矩阵的初等行（列）变换有直观的优点，用分块初等矩阵左乘（右乘）一个分块矩阵可以得到一个等式，把两者结合起来可以发挥出很大的威力。 2.1.5 分块矩阵的初等变换与矩阵的秩[6] 由于分块初等矩阵是可逆矩阵，因此据可逆矩阵的性质和上述结论得到：分块矩阵的初等变换不改变矩阵的秩这个结论在求矩阵的秩时很有用。 2．2 分块矩阵的相关应用 2.2.1 利用矩阵分块的方法计算行列式[7] 利用初等变换可使分块矩阵的行列式的计算得到简化.为讨论分块矩阵行列式的计算，先讨论分块初等矩阵的行列式，它们的行列式有下列的计算公式。 引理 分块初等矩阵的行列式有以下性质： (1)︱E(i,j)︱=(-1)x，其中i=ri(ri+1+…+rj) + rj(ri+1+…+rj-1), (ij)，i + 1, 则︱E(i,j)︱=(-1)rr︱E(i(P))︱=︱P︱P是ri阶可逆矩阵； (3)︱E(j(P),i)︱=1P是ri x rj矩阵. 定理2 设是一个分块矩阵： (1) 交换|A|i,j两行（列），行列式变为(-1)x|A|，其中i=ri(ri+1+…+rj) + rj(ri+1+…+rj-1), (ij)，特别地，交换|A|的相邻两行（列），行列式变为(-1)rr+|A|. (2) 用一个ri阶可逆矩阵P左（右）乘|A|的第i行(列)的所有矩阵，等于用|P|乘以|A|. (3) 用一个矩阵P左（右）乘|A|的某一行（列）的所有矩阵再加到另一行（列）的对应元素上，行列式不