常微分方程初值问题的预估-校正解法文献综述.doc

文献综述 常微分方程初值问题的预估-校正解法 一、前言部分 在生产实际和其他数学分支中，都会不断地遇到常微分方程，而在这些方程中，仅有很少的一部分能通过初等积分法给出通解或通积分，大多数积分必须数值计算。所以，一开始就使用数值方法求解通常更有效。 解常微分方程初值问题的数值方法通常可以分为两类：（1）单步法，例如Euler方法和 Runge-Kutta方法；（2）多步法，例如线性多步法。 我们将同阶的显式公式与隐式公式相比，前者使用方便，计算量较小；而后者一般需用迭代法求解，计算量大，但其局部截断误差较小，稳定性较好。两种方法各有长处和不足。因此，常常将它们配合起来使用，以发挥它们的优点，弥补各自的不足。 这样将显式公式和隐式公式联合使用，前者提供预测值，而后者将预测值加以校正，使数值解更精确。由此形成的算法通常被称作预估-校正算法（简称为PC算法） 原则上任一显式多步法和隐式多步法都可以搭配成预估校正算法及各种计算方案，但不是任一种方案都是可用的。一个好的计算方案应该计算稳定，具有所需的精度，并且节约计算量。几种常见的预估-校正算法：（1）Adams四阶预估-校正算法；(2)Milne方法(3)Hamming算法。 本文综述常微分相容性、稳定性和收敛性分析预估-校正算法。 许多有关微分方程的教材都会提到发现海王星的故事。海王星的发现是人类智慧的结晶，也是常微分方程巨大作用的体现，体现了数学演绎法的强大威力。1781年发现天王星后，人们注意到它所在的位置总是和万有引力定律计算出来的结果不符。于是有人怀疑万有引力定律的正确性；但也有人认为，这可能是受另外一颗尚未发现的行星吸引所致。当时虽有不少人相信后一种假设，但缺乏去寻找这颗未知行星的办法和勇气。23岁的英国剑桥大学的学生亚当斯承担了这项任务，他利用引力定律和对天王星的观测资料建立起微分方程，来求解和推算这颗未知行星的轨道。1843年10月21日，他把计算结果寄给格林威治天文台台长艾利，但艾利不相信“小人物”的成果，置之不理。两年后，法国青年勒威耶也开始从事这项研究。1846年9月18日，他把计算结果告诉了柏林天文台助理员卡勒。6日晚，卡勒果然在勒威耶预言的位置上发现了海王星。 对于数学，特别是数学的应用，微分方程所具有的重大意义主要在于：很多物理与技术问题可以化归为微分方程的求解问题。 常微分方程发展过程中所经历的四个重要时期：1.常微分方程的经典阶段——以通解为主要研究内容；2.常微分方程的适定性理论阶段——以定解问题的适定性理论为研究内容；3.常微分方程的解析理论阶段——以解析理论为研究内容；4.常微分方程的定性理论阶段——以定性与稳定性理论为研究内容。 总之，微分方程是一门十分有用又十分有魅力的学科。自1693年微分方程概念的提出到动力系统的长足发展，常微分方程经历漫长而又迅速的发展，极大丰富了数学家园的内容。随着社会技术的发展和需求，微分方程会有更大的发展，比如偏微分方程的迅速发展。可以预测：随着依赖数学为基础的其它学科的发展，微分方程还会继续扩展。 2.2 常微分方程初值问题的数值解法 $1.基本概念 讨论“初值问题”，通常集中于讨论“1阶初值问题”： （2.2.1） 这是因为，任何高阶方程或方程组的初值问题，经过适当的变换可以化为1阶方程组的初值问题，而1阶方程组的初值问题写成向量形式，并把向量形式写作标量形式来叙述，这就是初值问题的基本形式（2.2.1）。 设（2.2.1）中的是在上的连续函数；又关于满足Lipschitz条件，即存在与无关的常数，使得 , 成立，则，初值问题（2.2.1）的解存在、唯一、连续可微且连续依赖于初始条件。 $2.常微分方程初值问题的数值解法——单步法 (1)Euler方法 Euler方法是求解初值问题（2.2.1）的一种最简单、最基本的数值方法，它不一定作为一种独立的求解方法在实际中使用，但却提供了数值解法的本质思想。 利用Taylor展开法，得近似计算公式 ， （2.2.2） 从何初值出发进行迭代。（2.2.2）称为Euler公式，它是一种迭代公式，也是一种差分公式；它利用前一步的数值解便可算出下一步的数值解，所以Euler公式也成为显式单步法。 利用向后差商，得近似计算公式 （2.2.3） 待求解的还隐含在计算公式等号右边的中，故称它为隐式Euler公式。隐式公式的计算，除非比较特殊，一般只好采用迭代法求解，像求解一元非线性方程的迭代法一样，比较麻烦。