高中立体几何（传统方法）.docVIP

立体几何（传统方法） 知识精要 直线与平面问题，主要是对空间中的直线与平面的位置关系、距离、角以及它们的综合问题进行研究．这些问题往往与代数、三角、组合等知识综合，因而在解题过程中，要力求做到概念清晰，方法得当，转化适时，突破得法． 四面体是一种最简单的多面体，它的许多性质可以用类比的思想从三角形的性质而得来．较复杂的多面体常转化为四面体问题加以解决．解决这一类问题的所常用的数学思想方法有：变换法、类比和转化、体积法、展开与对折等方法． 解决旋转体的有关问题要注意截面的知识的应用．在解决球相切问题时，注意球心连线通过切点，球心距等于两球半径之和．因此，研究多球相切问题时，连结球心，从而转化为多面体问题． 例题1 从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在直线都是异面直线，求k的最大值． 解答 考察如图所示的正方体上的四条线段AC，BC1，D1B1，A1D，它们所在直线两两都是异面直线．又若有5条或5条以上两两异面的直线，则它们的端点相异且个数不少于10，与正方体只有8个顶点矛盾．故 K的最大值是4． 练习1 在正方体的8个顶点、12条棱的中点、6个面的中心及正方体的中心共计27个点中，问共线的三点组的个数是多少 解答 两端点都为顶点的共线三点组共有个；两端点都为面的中心共线三点组共有个；两端点都为各棱中点的共线三点组共有个，且没有别的类型的共线三点组，所以总共有个． 例题2 已知一个平面与一个正方体的12条棱的夹角都等于，求． 解答 如右图所示，平面BCD与正方体的12条棱的夹角都等于，过A作AH垂直平面BCD．连DH，则．设正方体的边长为b，则 所以． 练习2 如图所示，正四面体ABCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得 ，记，其中表示EF与AC所成的角，表示EF与BD所成的角，证明，即为常数． 解答 因ABCD是正四面体，故AC垂直BD，作EG平行AC交BC于G，连GF，则，且，所以GF平行BD．所以GF垂直EG，且．所以为常数． 例题3 三棱锥P-ABC中，若棱PA=x，其余棱长均为1，探讨x是否有最值． 解答当P-ABC为三棱锥时，x的最小极限是P、A重合，取值为0，若绕BC顺时针旋转，PA变大，最大极限是P、A、B、C共面时，PA为菱形ABPC的对角线，长度为．所以无最值． 练习3若正三棱锥底面棱长棱长均为1，探讨其侧棱否有最值． 解答 若P在底面的射影为O,易知PO越小，侧棱越小．故P、O重合时，侧棱取最小极限值，PO无穷大时，侧棱也无穷大．所以无最值． 例题4在单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP+D1P最短，求AP+D1P的最小值． 解答 将等腰直角三角形AA1B沿A1B折起至，使三角形与四边形A1BCD1共面，联结，则的长即为AP+D1P的最小值，所以， 练习4已知单位正方体ABCD-A1B1C1D1的对棱BB1、D1上有两个动点E、F，BE=D1F=（）．设EF与AB所成的角为，与BC所成的角为，求的最小值． 解答 当时，．不难证明是单调减函数．因此的最小值为． 例题5 在正n棱锥中，求相邻两侧面所成的二面角的取值范围． 解答 当顶点落在底面的时候，相邻两侧面所成的二面角为．当顶点在无穷远处的时候，正n棱锥变为正n棱柱，这时相邻两侧面所成的二面角为． 练习5 已知直平行六面体ABCD-A1B1C1D1的各条棱长均为3，角BAD=600，长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一端点N在底面ABCD上运动，求MN的中点P的轨迹（曲面）与共一顶点D的三个面所围成的几何体的体积． 解答 联结DP、DN，在三角形MDN为直角三角形，且DP=MN/2=1，又由已知角BAD=600，角ADC=1200，所以点P的轨迹以点D为球心，半径为1的1/6球面，所以其与顶点D以及三个面围成的几何体的体积为．