代数 第零章习题部分答案.doc

习题 9,在欧几里德平面上，用表示一切有向的线段 (起点为，终点为)作成的集合，请在上给出一个等价关系~使得商集成为平面上的向量集合。 解：上的等价关系为“平行关系”。可以使得商集成为平面上的向量集合。 10.设,,为任意集合,又设,,证明：“如果，则” 对任意,都成立的充要条件是是个满射. 证： 因是个满射，故对任意，,使得 所以对任意,都有“如果，则”成立, 由的任意性可得对任意,都有“如果，则”成立. 因对任意,都成立“如果，则” 故对任意，要想有，则必须,使得 所以对任意都,使得，即是个满射. 11.设证明：“如果，则”对任意都成立的充要条件是是一个单射. Proof ： 对，有 若，即，则 是一个单射 是一个单射 若，即 根据单射的定义，则必有对成立 12.证明：在自然数系N中，如果，，则而且. 证明：根据题意可知： （1）若，则 且 （2）同理可证也成立。 （3）若，则或 且 且 且 （4）若，则 且 且 综上所述：且. 13.设a为一个非零整数，mn0,m,n证明（）=1或2.从而证明有无穷多个素数。 第一部分不会做，只证了第二部分 假设素数只有有限个，记为，考虑这个数（）+1=，则为合数，故必有素因子q。由于只有有限个素数，q必是上述n个素数中的一个。但是，除以上述n个素数中的任何一个都余1，这与n是q的倍数矛盾！所以，素数有无穷多个i）; （ii）,若n含有平方因子； （iii）,若,为不同的素数. 证明：对于正整数,恒有. 证明： 当n为素数时，因为d整除n，所以d为1或n. 此时有 ....................................................(a) 当n为非素数时，假设，令集合, A的所有子集定为，构造的一个映射 ....................(b) 当n为非素数且n中含有平方因子时，,此时 若d含有平方因子，则，从而， 若d不含有平方因子，则与(2)中（b）式相同. 所以对于正整数,恒有. 15. 应用定理7，证明欧拉函数可写成 证明：可知函数是积性函数 故 也是积性函数 即 （是素数，） 可知 ， （） 由定理7可知 成立. 16.若为质数，则可整除 。 证明如下 ，命题显然成立； ，命题显然成立； 对于奇质数，令,则中不会有对于除数同余的两个数；事实上,则能被整除，而中的元素不可能被除尽。于是中被除得的余数形成集合. 假设中被除余一的数是: 一若，则，它被除余,所以不成立； 二若,则,它被除余,所以不成立； 三若，则,由于， 故应有,这只能是或,此与矛盾，故不成立； 有一二三知且。 不同时，也相异；若, ,且，因，而中的元素关于不同余，可见,则。 即中的每一个均可找到与其配对的，使， 又，不同时，也相异。 因此，中的偶数个(个)元素可以分成个二元组,每个二元组都满足， ∴ ∴ 从而可整除 17. 定义在整数上的函数如果满足 则叫做乘性函数. 证明：若是一个乘性函数，则也是一个乘性函数。 证明：设 令有 故 ...................................(证毕) 19.(默比乌斯反演定理) 设是定义在正整数集上的复值函数，令，证明：。 证明：由 对的每个因数，是自然数，于是有， 所以， （1） 由14题知， （2） 把（2）代入（1），得： . 20.应用默比乌斯反演公式和欧拉函数的一个性质，来直接证明习题15的公式。然后重复导出定理7的公式。 证明：设，将中的数分类，，则 因为， 所以 令，根据默比乌斯反演公式，定理得证。