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本文格式为Word版，下载可任意编辑 — PAGE \* Arabic 1 — （数学分析教案）第四章 第四章  ? 引言  函数的连续性 （14学时）  在数学分析中，要研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数，就是连续函数。从今天开头，我们就来看看这类函数的特点。主要讲以下几个问题：  １．什么是“函数的连续性”？  ２．“休止”或“不连续”有哪些情形？ ３．连续函数有哪些性质？  ４．初等函数的连续性有何特点？  §１ 连续性概念  教学目的：使学生深刻掌管函数连续性的概念和连续函数的概念。  教学要求：（１）使学生深刻理解函数在一点连续包括单侧连续的定义，并能纯熟写出函数  在一点连续的各种等价表达；（２）应使学生从分析导致函数在一点不连续的全体可能的因素启程，理解函数在一点休止以及函数休止点的概念，从反面加深对函数在一点连续这一概念的理解力并能纯熟切实地识别不同类型的休止点；（３）明确函数在一区间上连续是以函数在一点连续的概念为根基的，使学生领会区分“连续函数”与“函数连续”所表述的不同内涵。  教学重点：函数连续性概念。 教学难点：函数连续性概念。 学时安置: 4学时 教学程序：  ? 引言  “连续”与“休止”（不连续）照字面上来讲，是不难理解的。例如下图１中的函数  y?f(x)，我们说它是连续的，而图２中的函数在x0处是休止的。  由此可见，所谓“连续函数”，从几何上表现为它的图象是坐标平面上一条连绵不断的曲线。而所谓“不连续函数”从几何上表现为它的图象在某些点处“断开”了。  当然，我们不能得志于这种直观的熟悉，由于单从图形上看是不行的，图形只能扶助我们更形象地理解概念，而不能透露概念的本质属性。  例如，可以举出这样的例子，它在每点都连续但却无法用图形表示出来（如Rieman函数）。  因此，为了给出“连续”的定义，需要对此作进一步分析和研究。  从图２看出，在x0处，函数值有一个腾跃，当自变量从x1左侧的近傍变到x1右侧的近旁时，对应的函数值发生了显著的变化。而在其它点处（如x1处），处境那么完全相反。：当自变量从x1向左侧或向右侧作微小变更时，对应的函数值也只作微小的变更；这就是说，当自变量x靠近x1时，函数值就靠近f(x1)，而当x?x1时，f(x)?f(x1)。换句话说，limf(x)?f(x1)f(x)x?xf(x)11当时，以为极限，即x?x1。  根据这一分析，引入下面的定义：  一 函数在一点的连续性  １．  x函数f在点0连续的定义  limf(x)?f(x0)xU(x)ffx00定义１（在点连续）设函数在某内有定义，若?x0，那么称f在点x0连续。  注  x?x0limf(x)?f(x0)?f(limx)x?x0，即“f在点x0连续”意味着“极限运算与对应  法那么f 可交换。 ２．例子  例１．?x0?R,sinx,cosx在x0处连续。 例２．x?2lim(2x?1)?5?f(2)。  ,x?0,x?0例３．议论函数  1?xsin?f(x)??x?0?在点x=0处连续性。  ３．函数f在点x0连续的等价定义  １） 记号：?x?x?x0——自变量x在点的增量或变更量。设y0?f(x0)，  ?y?f(x)?f(x0)?f(x0??x)?f(x0)?y?y0——函数y在点x0的增量。  注：自变量的增量?x或函数的增量?y可正、可负、也可为零。（识别于“增加”）。  lim?y?0２） 等价定义１：函数f在点x0连续??x?0。  ３） 等价定义２：函数f在点x0连续????0,???0，当|x?x0|??时，  |f(x)?f(x)?|?。 0注：一个定义是等价的，根据概括的问题选用不同的表述方式。如用三种定义，可以证明以下命题：  例４．证明函数f(x)?xD(x)在点x?0连续，其中D(x)为Dirichlet函数。  xx４．函数f在点0有极限与函数f在点0连续之间的关系  0１） 从对邻域的要求看：在议论极限时，假定f在U(x0)内不定义（f在点x0可以没  有定义）。而f在点x0连续那么要求f在某U(x0)内有定义（包括x0）。  ２） 在极限中，要求0?|x?x0|??，而当“f在点x0连续”时，由于x=x0时，  |f(x)?f(x0)?|?恒成立。所以换为：|x?x0|??.  ３） 从对极限的要求看：“f在点x0连续”不仅要求“f在点x0有极限”，而且  x?x0limf(x)?f(x0)；而