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3.3 函数的应用(一)
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
2.能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题.(重点、难点)
1. 通过建立函数模型解决实际问题,培养数学建模素养.
2.借助实际问题中的最值问题,提升数学运算素养.
常见的几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
二次函数模型
f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
分段函数模型
f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f1?x?,x∈D1,f2?x?,x∈D2,……,fn?x?,x∈Dn))
1.一个矩形的周长是40,则矩形的长y关于宽x的函数解析式为( )
A.y=20-x,0<x<10 B.y=20-2x,0<x<20
C.y=40-x,0<x<10 D.y=40-2x,0<x<20
[答案] A
2.甲、乙、丙、丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动,丙车最先到达终点.丁车最后到达终点.若甲、乙两车的图像如图所示,则对于丙、丁两车的图像所在区域,判断正确的是( )
A.丙在Ⅲ区域,丁在Ⅰ区域
B.丙在Ⅰ区城,丁在Ⅲ区域
C.丙在Ⅱ区域,丁在Ⅰ区域
D.丙在Ⅲ区域,丁在Ⅱ区域
A [由图像,可得相同时间内丙车行驶路程最远,丁车行驶路程最近,即丙在Ⅲ区域,丁在Ⅰ区域,故选A.]
3.某商店进货单价为45元,若按50元一个销售,能卖出50个;若销售单价每涨1元,其销售量就减少2个,为了获得最大利润,此商品的最佳售价应为每个________元.
60 [设涨价x元,销售的利润为y元,
则y=(50+x-45)(50-2x)=-2x2+40x+250
=-2(x-10)2+450,
所以当x=10,即销售价为60元时,y取得最大值.]
一次函数模型的应用
【例1】 某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y=6x+30 000.而出厂价格为每套12元,要使该厂不亏本,至少日生产文具盒( )
A.2 000套 B .3 000套
C.4 000套 D.5 000套
D [因利润z=12x-(6x+30 000),所以z=6x-30 000,由z≥0解得x≥5 000,故至少日生产文具盒5 000套.]
1.一次函数模型的实际应用
一次函数模型应用时,本着“问什么,设什么,列什么”这一原则.
2.一次函数的最值求解
一次函数求最值,常转化为求解不等式ax+b≥0(或≤0),解答时,注意系数a的正负,也可以结合函数图像或其单调性来求最值.
1.如图所示,这是某通讯公司规定的打某国际长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图像.根据图像填空:
(1)通话2分钟,需要付电话费________元;
(2)通话5分钟,需要付电话费________元;
(3)如果t≥3,则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为________.
(1)3.6 (2)6 (3)y=1.2t(t≥3) [(1)由图像可知,当t≤3时,电话费都是3.6元.
(2)由图像可知,当t=5时,y=6,需付电话费6元.
(3)易知当t≥3时,图像过点(3,3.6),(5,6),求得y=1.2t(t≥3).]
二次函数模型的应用
【例2】 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱.
(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;
(3)当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?
[思路点拨] 本题中平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)是一个一次函数关系,虽然x∈[50,55],x∈N,但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题;平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)是一个二次函数关系,可看成是一个二次函数模型的应用题.
[解] (1)根据题意,得y=90-3(x-50),
化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).
(2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润.
所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55,x∈N).
(3)因为w=-3x2+360x-9 600=-3(x-60)2+1 200,
所以当x<60时,w随x的增大而增大.
又50≤x≤55,x
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