同步人A数学必修第一册新教材讲义：第1章 1.4 1.4.1　充分条件与必要条件 1.4.2　充要条件含答案.docVIP

1.4　充分条件与必要条件 1. 1. 学 习 目 标 核 心 素 养 1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点) 2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点) 3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点) 1.通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养． 2．借助充要条件的应用，培养数学运算素养. 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p?q pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 思考1：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？ (2)以下五种表述形式：①p?q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？ 提示：(1)相同，都是p?q.(2)等价． 2．充要条件 (1)一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件． 概括地说，如果p?q，那么p与q互为充要条件． (2)若p?q，但qp，则称p是q的充分不必要条件． (3)若q?p，但pq，则称p是q的必要不充分条件． (4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件． 思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？ (2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？ 提示：(1)正确．若p是q的充要条件，则p?q，即p等价于q. (2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论． ②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． 1．下列语句是命题的是(　　 ) A．梯形是四边形　　 B．作直线AB C．x是整数 D．今天会下雪吗 A　[D不是陈述句，B、C不能判断真假．] 2．“同位角相等”是“两直线平行”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既是充分条件，也是必要条件 D．既不充分也不必要条件 [答案]　C 3．使x>3成立的一个充分条件是(　　 ) A．x>4 B．x>0 C．x>2 D．x<2 A　[只有x>4?x>3，其他选项均不可推出x>3.] 4．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[因为x≥2且y≥2?x2＋y2≥4, x2＋y2≥4x≥2且y≥2，如x＝－2，y＝1，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件 充分条件、必要条件的判断 【例1】　指出下列各题中p是q的什么条件． (1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0. (2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等． (3)p：a＞b，q：ac＞bc. [解]　(1)x－3＝0?(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0x－3＝0，故p是q的充分不必要条件． (2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等?两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件． (3)a＞bac＞bc，且ac＞bca＞b， 故p是q的既不充分也不必要条件． 定义法判断充分条件、必要条件 ?1?确定谁是条件，谁是结论 ?2?尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件 ?3?尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件. 1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件． (1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形． (2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0. [解]　(1)因为四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等， 所以p是q的既不充分也不必要条件． (2)因为(x－1)2＋(y－2)2＝0?x＝1且y＝2?(x－1)(y－2)＝0，而(x－1)(y－2)＝0(x－1)2＋(y－2)2＝0，所以p是q的充分不必要条件． 充分条件、必要条件、充要条件的应用 [探究问题] 1．记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则集合A，B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？ 提示：若p是q的充分不必要条件，则AB，若p是q的必要不充分条件，则BA. 2．记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M?N，则p是q的什么条件？若N?M，M＝N呢？ 提示：若M?N，则p是q的充分条件，若N?M，则p是q的必要条件，若M＝N，则p是q的充要条件． 【例2】　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要条件