高考数学一轮复习名师学案（北师大版文科）： 第2章 函数、导数及其应用 第2节 函数的单调性与最大（小）值学案.docVIP

第二节　函数的单调性与最大(小)值 [考纲传真]　1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质． (对应学生用书第9页) [基础知识填充] 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 在函数f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么，就称函数f(x)在区间A上是增加的 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么，就称函数f(x)在区间A上是减少的 图像 描述 自左向右看图像是上升的 自左向右看图像是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么就称A为单调区间． 2．函数的最大(小)值 前提 函数y＝f(x)的定义域为D 条件 (1)存在x0∈D，使得f(x0)＝M； (2)对于任意x∈D，都有f(x0)≤M (3)存在x0∈D，使得f(x)＝M； (4)对于任意x∈D，都有f(x0)≥M. 结论 M为最大值 M为最小值 [知识拓展] 　 函数单调性的常用结论 (1)对任意x1，x2∈D(x1≠x2)，eq \f(f?x1?－f?x2?,x1－x2)＞0?f(x)在D上是增函数，eq \f(f?x1?－f?x2?,x1－x2)＜0?f(x)在D上是减函数． (2)对勾函数y＝x＋eq \f(a,x)(a＞0)的增区间为(－∞，－eq \r(a)]和[eq \r(a)，＋∞)，减区间为[－eq \r(a)，0)和(0，eq \r(a)]． (3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． (4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”． [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，x1≠x2且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增加的．(　　) (2)函数y＝eq \f(1,x)的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　) (3)函数y＝|x|在R上是增加的．(　　) (4)函数y＝x2－2x在区间[3，＋∞)上是增加的，则函数y＝x2－2x的单调递增区间为[3，＋∞)．(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．(2017·深圳二次调研)下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是(　　) A．y＝x3 B．y＝eq \r(x) C．y＝eq \f(1,x)　　　 D．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x C　[选项A，B中函数在定义域内均为单调递增函数，选项D为在定义域内为单调递减函数，选项C中，设x1＜x2(x1，x2≠0)，则y2－y1＝eq \f(1,x2)－eq \f(1,x1)＝eq \f(x1－x2,x1x2)，因为x1－x2＜0，当x1，x2同号时x1x2＞0，eq \f(1,x2)－eq \f(1,x1)＜0，当x1，x2异号时x1x2＜0，eq \f(1,x2)－eq \f(1,x1)＞0，所以函数y＝eq \f(1,x)在定义域上不是单调函数，故选C．] 3．(教材改编)已知函数f(x)＝eq \f(2,x－1)，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________． 2　eq \f(2,5)　[可判断函数f(x)＝eq \f(2,x－1)在[2,6]上为减函数，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝eq \f(2,5).] 4．函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))　[由题意知2k＋1＜0，得k＜－eq \f(1,2).] 5．f(x)＝x2－2x，x∈[－2,3]的单调增区间为________，f(x)max＝________. [1,3]　8　[f(x)＝(x－1)2－1，故f(x)的单调增区间为[1,3]，f(x)max＝f(－2)＝8.] (对应学生用书第10页) 函数单调性的判断 　(1)(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　) A．(－∞，－2) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞) (2)试讨论函数f(x)＝x＋eq \f(k,x)(k＞0)的单调性． 【导学号 (1)D　[由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2. 设t＝x2－2x－8，则y＝