高等代数(王萼芳石生明著)课后答案高等教育.doc

高等代数习题答案（一至四章） 第一章 多项式 习题解答 1、（1）由带余除法，得 （2）， 2、（1） ， （2）由得或。 3、（1） （2）q（x）=， 4、（1）有综合除法： （2） （3） 5、（1）x+1 （2）1 （3） 6、（1）u（x）=-x-1 ，v（x）=x+2 （2）， （3）u（x）=-x-1, 7、或 8、思路：根具定义证明 证：易见d（x）是f（x）与g（x）的公因式。另设是f（x）与g（x）的任意公因式，下证。 由于d（x）是f（x）与g（x）的一个组合，这就是说存在多项式s（x）与t（x），使 d（x）=s（x）f（x）+t（x）g（x）。从而，，可得。即证。 9、证：因为存在多项式u（x），v（x）使（f（x），g（x））=u（x）f（x）+v（x）g（x），所以 （f（x），g（x））h（x）= u（x）f（x）h（x）+v（x）g（x）h（x），上式说明（f（x），g（x））h（x）是f（x）h（x）与g（x）h（x）的一个组合。 另一方面，由知。同理可得 从而是与的一个最大公因式，又因为的首相系数为1，所以。 10. 证 存在u（x），v（x）使有因为f（x），g（x）不全为0，所以，由消去律可得 所以。 11.由上题结论类似可得。 12. 证 由假设，存在使（1） （2），将（1）（2）两式相乘得 所以 13. 证 由于 反复应用第12题结论，可得同理可证 从而可得 14. 证 有题设知，所以存在v（x），v（x）使u(x)f(x)+v(x)g(x)=1从而 u(x)f(x)-v(x)f(x)+v(x)g(x)+v(x)g(x)=1即[u(x)-v(x)]f(x)+v(x)[f(x)+g(x)]=1所以 同理再有12题结论，即证 15、。 16、（1）由x-2得三重因式 （2）无重因式。 17、当t=3时有三重根x=1,；当t=由二重根。 18、 19、a=1，b=-2 。 20、证 因为f（x）的导函数所以于是 从而f（x）无重根。 21、证 因为，，由于a是的k重根，故a是的k+1重根。代入验算知a是g（x）的根。所以s-2=k+1s=k+3，即证。 22、证 必要性：设是f（x）的k重根，从而是的k-1重根，是的k-2重根。。。。。，是的一重根，并且不是的根。于是，而。 充分性 由而，知是的一重根。又由于，知是的二重根，以此类推，可知是f（x）的k重根。 23、解：例如：设，那么以0为m重根。 24、证 要证明，就是要证明f（1）=0（这是因为我们可以把看做为一个变量。 有题设由，所以也就是f（1）=0，即证。 25、当n为奇数时， 当n为偶数时 27、（1）利用剩余除法试根：有一有理根：2 （2）有两个有理根：， （3）有五个有理根：3，-1，-1，-1，-1。 28、（1）因为1都不是它的根，所以在有理数域里不可约 （2）利用爱森斯坦判别法，取p=2，则侧多项式在有理数域上不可约。 （3）不可约 （4）不可约 （5）不可约 第二章 行列式 习题解答 1、均为偶排列 2、（1）i=8，k=3 （2）i=3 k=6 3、 4、当n=4k，4k+1时为偶排列 当n=4k+2,4k+3时为奇排列 5、 6、正号 7、，， 8、（1）原式=，（2） （3） 9、解：行列式展开得一般项可表示为，列标只可以在1,2,3,4,5中取不同值，故三个下标中至少有一个要取3,4,5列中一个数，从而任何一个展开式中至少要包含一个零元素，故所给行列式中每一项的乘积必为0，因此行列式只为零。 10、解：含有的展开项中只能是，所以的系数为2；同理，含有的张开项中只能是，所以的系数为-1。 11、证：有题设，所给行列式的展开式中的每一项的绝对值为1。而行列式的值为0，这说明带正号与带负号的项数相同。根据行列式定义，其展开式中的每一项的符号是由该乘积中各因子下表排列的逆序数所决定的，即当该乘积中各因子的第一个下标排成自然顺序，且第二下标所成排列为偶排列时，该项前面所带符号为正，否则为负号。所以，由带正号的项与带符号的项数相等即说明奇偶排列各半。 12、解（1）因为所给行列式的展开式中只有第一行含有x，所以若该行列式的第一行展开时含有的对应项系数恰为 乘一个范得蒙行列式于是，由为互不相同的数即知含有的对应项的系数不为零，因而p（x）为一个n-1次的多项式。 13、（1） （2） （3）48 （4）160 （5） （6）0 14、提示：将第二列，第三列的同时加到第一列。 15、（1）=-6，=0，=0，=0，=12，6，=0，=0，=15， =-6，=-3，=0，=7， =0，