专题一　第1讲　函数的图象与性质.docx

第1讲函数的图象与性质

[考情分析]1.函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域与值域、分段函数、函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用，难度属于中等及以上.2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合命题．

考点一函数的概念与表示

核心提炼

1．复合函数的定义域

(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域．

(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域．

2．分段函数

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集．

例1(1)(2023·南昌模拟)已知函数f(x)的定义域为(1，＋∞)，则函数F(x)＝f(2x－3)＋eq\r(3－x)的定义域为()

A．(2,3] B．(－2,3]

C．[－2,3] D．(0,3]

答案A

解析由题可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3>1，,3－x≥0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>2，,x≤3))?2<x≤3，故函数F(x)的定义域为(2,3]．

(2)(2023·重庆模拟)设a>0且a≠1，若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋7，x≤2，,3＋logax，x>2))的值域是[5，＋∞)，则a的取值范围是()

A．[eq\r(2)，＋∞) B．(1，eq\r(2))

C．(1，eq\r(2)] D．(eq\r(2)，＋∞)

答案C

解析由于函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋7，x≤2，,3＋logax，x>2))(a>0且a≠1)的值域是[5，＋∞)，

故当x≤2时，满足f(x)＝7－x≥5.

若a>1，f(x)＝3＋logax在它的定义域上为增函数，

当x>2时，由f(x)＝3＋logax≥5，

得logax≥2，∴loga2≥2，

∴1<a≤eq\r(2).

若0<a<1，f(x)＝3＋logax在它的定义域上为减函数，f(x)＝3＋logax<3＋loga2<3，不满足f(x)的值域是[5，＋∞)．

综上可得1<a≤eq\r(2).

规律方法(1)形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则．

(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．

跟踪演练1(1)(2023·潍坊模拟)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3，x≥10，,f?f?x＋4??，x<10，))则f(8)等于()

A．10B．9C．7D．6

答案C

解析因为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3，x≥10，,f?f?x＋4??，x<10，))

则f(8)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(13))

＝f(10)＝7.

(2)(多选)设函数f(x)的定义域为D，如果对任意的x∈D，存在y∈D，使得f(x)＝－f(y)成立，则称函数f(x)为“M函数”．下列为“M函数”的是()

A．f(x)＝sinxcosx B．f(x)＝lnx＋ex

C．f(x)＝2x D．f(x)＝x2－2x

答案AB

解析由题意，得“M函数”的值域关于原点对称．A中，f(x)＝sinxcosx＝eq\f(1,2)sin2x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，其值域关于原点对称，故A是“M函数”；B中，函数f(x)＝lnx＋ex的值域为R，故B是“M函数”；C中，因为f(x)＝2x>0，故C不是“M函数”；D中，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，其值域不关于原点对称，故D不是“M函数”．

考点二函数的图象

核心提炼

1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．

2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．

例2(1)(2023·宁波十校联考)函数f(x)＝ln|x|coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2x))的图象可能为()

答案A

解析因为函数f(x)＝ln|x|coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2x))

＝－l