专题四　第1讲　空间几何体.docx

第1讲空间几何体

[考情分析]空间几何体的结构特征是立体几何的基础，空间几何体的表面积和体积是高考的重点与热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏上．

考点一空间几何体的折展问题

核心提炼

空间几何体的侧面展开图

(1)圆柱的侧面展开图是矩形．

(2)圆锥的侧面展开图是扇形．

(3)圆台的侧面展开图是扇环．

例1(1)(2023·郴州模拟)已知圆台的上、下底面半径分别为10和5，侧面积为300π，AB为圆台的一条母线(点B在圆台的上底面圆周上)，M为AB的中点，一只蚂蚁从点B出发，绕圆台侧面一周爬行到点M，则蚂蚁爬行所经路程的最小值为()

A．30B．40C．50D．60

答案C

解析因为圆台上底面半径为5，下底面半径为10，母线长为l，

所以S＝πl(10＋5)＝15πl＝300π，解得l＝20，如图所示，

将圆台所在的圆锥侧面展开，且设扇形的圆心为O.

线段M1B就是蚂蚁经过的最短距离，

设OA＝R，圆心角是α，

则由题意知10π＝αR，①

20π＝α(20＋R),②

由①②解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,2)，,R＝20，))

所以OM1＝OM＝30，OB＝OB1＝40，

所以M1B＝eq\r(OB2＋OM\o\al(2,1))＝50.

(2)(2023·深圳模拟)如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，AC＝eq\r(3)，AB＝1，AD＝1，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB等于()

A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(3,5)D.eq\f(3,4)

答案D

解析由题意知，AE＝AD＝AB＝1，BC＝2，

在△ACE中，由余弦定理得

CE2＝AE2＋AC2－2AE·AC·cos∠CAE

＝1＋3－2×1×eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝1，

∴CE＝CF＝1，而BF＝BD＝eq\r(2)，BC＝2，

∴在△BCF中，由余弦定理的推论得，

cos∠FCB＝eq\f(BC2＋CF2－BF2,2BC·CF)＝eq\f(4＋1－2,2×2×1)＝eq\f(3,4).

规律方法空间几何体最短距离问题，一般是将空间几何体展开成平面图形，转化成求平面中两点间的最短距离问题，注意展开后对应的顶点和边．

跟踪演练1(1)(多选)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是()

A．C∈GH

B．CD与EF是共面直线

C．AB∥EF

D．GH与EF是异面直线

答案ABD

解析由图可知，还原正方体后，点C与G重合，即C∈GH，又可知CD与EF是平行直线，即CD与EF是共面直线，AB与EF是相交直线(点B与点F重合)，GH与EF是异面直线，故A，B，D正确，C错误．

(2)(2023·鞍山模拟)如图，在三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝VC＝8，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面AEF，则△AEF周长的最小值为()

A．6eq\r(2)B．6eq\r(3)C．8eq\r(2)D．8eq\r(3)

答案C

解析沿侧棱VA把正三棱锥V－ABC展开在一个平面内，如图所示，则AA′即为△AEF周长的最小值，又因为∠AVB＝∠A′VC＝∠BVC＝30°，

所以∠AVA′＝3×30°＝90°，在△VAA′中，VA＝VA′＝8，由勾股定理得AA′＝eq\r(VA2＋VA′2)＝eq\r(82＋82)＝8eq\r(2).

考点二表面积与体积

核心提炼

1．旋转体的侧面积和表面积

(1)S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．

(2)S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．

(3)S球表＝4πR2(R为球的半径)．

2．空间几何体的体积公式

(1)V柱＝Sh(S为底面面积，h为高)．

(2)V锥＝eq\f(1,3)Sh(S为底面面积，h为高)．

(3)V台＝eq\f(1,3)(S上＋eq\r(S上·S下)＋S下)h(S上，S下分别为上、下底面面积，h为高)．

(4)V球＝eq\f(4,3)πR3(R为球的半径)．

例2(1)(2023·潍坊模拟)如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为eq\f(π,3)的扇形．把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为eq\f(1,3)，则圆台的侧面积为()

A.eq\f(8π,3)B.eq\f(\r(35)π,2)C.eq\f(16π,3)D．8π

答案C

解析假设圆锥的底面半径为R，母线长为l，则R＝1.设