第一课时 数列和第二课时等差数列知识点与练习.docx

第一课时 数列 知识要点 一、 数列的概念 数列是按一定顺序排列的一列数，记作 a , a , a 1 2 3  a , , 简记?a ?. ??n n ? ? 数列?a n ?的第 n 项 a n 与项数 n 的关系若用一个公式 a ? n f (n) 给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。 数列可以看做定义域为 N ?（或其子集）的函数，当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图 像是一群孤立的点。二、数列的表示方法 数列的表示方法有：列举法、图示法、解析法（用通项公式表示）和递推法（用递推关系表示）。 三、数列的分类 按照数列的项数分：有穷数列、无穷数列。 按照任何一项的绝对值是否不超过某一正数分：有界数列、无界数列。 从函数角度考虑分：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列。 四、数列通项 a n 与前 n 项和 S n 的关系 1． S n ? a ? a 1 2 a ? ? a ?3 n ? ? ?n a i i?1 ? S 2． a ? ? 1 n ? 1 ?n S ? n S n?1 n ? 2 课前热身 1．数列 1，3，6，10，?的一个通项公式为 ( C )  n(n ? 1) n(n ? 1) Ａ． a n ? n2 ? (n ?1) B． a n ? n2 ?1 C． a ? n 2 D． a ? n 2 2.在数列1,1,2,3,5,8, x,21,34,55,? 中， x 的值为（ Ｄ ） A．10 B．11 C．12 D．13 数列?a n ?的通项公式为 a n ? 3n2 28n ,则数列各项中最小项是( B ) A．第４项 B．第５项 C．第６项 D．第７项 已知数列?a n ?是递增数列，其通项公式为 a n ? n2 ? ? n ,则实数? 的取值范围是(?3,??) 数列?a ?的前 n 项和 S ? n2 ? 4n ? 1,，则 a ? ? ? 2 n ? 1 ?n n n ? ?2n ? 5 n ? 2 1 答案：1.C 2.D 3.B 4. (?3,??) 5. a n ? ? ? 2 ?2 ?2n ? 5 n ? 1 n ? 2 典例精析 题型一 归纳、猜想法求数列通项 【例 1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式 ⑴7，77，777，7777，? ⑵ 2 ,? 4 , 6 ,? 8 ,? 3 15 35 63 ⑶1，3，3，5，5，7，7，9，9? 7 7 7 7 解析：⑴将数列变形为 ? (10 ? 1), 9 (102 ? 1), 9 9 (103 ? 1) ，?, (10 n ? 1) 9 ⑵分开观察，正负号由 (?1)n?1 确定，分子是偶数 2 n ，分母是1? 3 ，3 ? 5 ，5 ? 7 ， ?, (2n ? 1) ? (2n ? 1) ， 2n 故数列的通项公式可写成 a n ? (?1)n?1  (2n ? 1)(2n ? 1) ⑶将已知数列变为 1+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，?。可得数列的通项公式为 a ? n ? 1 ? (?1)n n 2 点拨：联想与转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法，观察归纳是由特殊到一般的有效手段，本例的求 解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律，从而求得通项。 ? S (n ?1) S?题型二 应用 a ? S ? n ? 1 ? S n n?1 (n ? 2) 求数列通项 例 2．已知数列?a ?的前 n 项和 S ，分别求其通项公式. n n ⑴ S ? 3n ? 2 n 1 ⑵ S ? (a n 8 n ? 2) 2 (a ? 0) n 解析：⑴当 n ? 1时, a ? S 1 1 ? 31 ? 2 ? 1， 当n ? 2时,a n ? S ? S n n?1 ? (3n ?2) ?(3n?1 ?2) 又 a ? 1 1 ? 2 ? 3n?1 不适合上式，故 a n  ? ? 1 ??2 ? 3n?1 ?  (n ? 1) (n ? 2) 2 (2)当n ? 1时, a ? S ? 1 (a  ? 2) 2 , 解得a 当n ? 2时, a ? S ? S ?n n n?1 ? 2 1 1 1 1 8 1 1 ? (a 8 n ? 2)2 a 8  n?1 ? 2)2 所以(a ? 2)2 ? (a ? 2)2 ? 0 n n?1 所以(a ? a )(a ? a ? 4) ? 0 n n?1 n n?1 又 a ? 0, 所以a ? a ? 4 ，可知?a ?为等差数列，公差为 4 n n n?1